Question

在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，線段AD是BC邊上的中線．

(1)如圖(Ⅰ)，將△ADC沿直線BC平移，使點D與點C重合，得到△FCE，連結AF．

求證：四邊形ADEF是等腰梯形；

(2)如圖(Ⅱ)，在(1)的條件下，再將△FCE繞點C順時針旋轉，設旋轉角為α(0°＜α＜90°)連結AF、DE．

①當AC⊥CF時，求旋轉角α的度數；②當α＝60°時，請判斷四邊形ADEF的形狀，并給予證明．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：∵△ADC沿直線BC平移得到△FCE， 　　∴AD∥FC，且AD＝FC，∴四邊形ADCF是平行四邊形， 　　∴AF∥DC，即AF∥DE，　1分 　　∵∠BAC＝90°，∠B＝30°，∴∠ACD＝60°， 　　∵AD是BC邊上的中線，∴AD＝DC，　2分 　　∴△ADC是等邊三角形，　3分 　　∵△ADC≌△FCE，∴△FCE是等邊三角形， 　　∴AD＝FE，　4分 　　∵AF≠DE，∴四邊形ADEF是等腰梯形．　5分 　　(2)①解：由(1)可知∠1＝60°，　6分 　　當AC⊥CF時，∠2＝90°－60°＝30°， 　　∴旋轉角的度數為30°，　7分 　　②四邊形ADEF為矩形，　8分 　　由(1)可知△ADC和△FCE是全等正三角形， 　　∴CA＝CE＝CD＝CF，　9分 　　當α＝60°時，如圖(Ⅲ)，∠ACF＝60°＋60°＝120°， 　　∴∠ACE＝120°＋60°＝180°，∴A、C、E三點共線，同理：D、C、F三點共線，　10分 　　∴AE＝DF，　11分 　　∴四邊形ADEF為矩形．　12分