Question

（2013•海門市二模）已知二次函數y=ax²+bx+c中，其函數y與自變量x之間的部分對應值如下表所示：

x	…	0	1	2	3	4	5	…
y	…	4	1	0	1	4	9	…

（1）當x=-1時，y的值為

9

；
（2）點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）在該函數的圖象上，則當1＜x₁＜2，3＜x₂＜4時，y₁與y₂的大小關系是

y₁＜y₂

；
（3）若將此圖象沿x軸向右平移3個單位，請寫出平移后圖象所對應的函數關系式：

y=（x-5）²或y=x²-10x+25

；
（4）設點P₁（m，y₁）、P₂（m+1，y₂）、P₃（m+2，y₃）都在二次函數y=ax²+bx+c的圖象上，問：當m＜-3時，y₁、y₂、y₃的值一定能作為同一個三角形三邊的長嗎？為什么？

Answer 1

分析：（1）先根據圖表，當x=1和x=3時，所對應的y值相等，得出拋物線的對稱軸是直線x=2，再由二次函數的對稱性可知，x=-1與x=5時的函數值相等，即為9；
（2）由表格可知，當1＜x＜2時，0＜y＜1；當3＜x＜4時，1＜y＜4，由此可判斷y₁ 與y₂的大小；
（3）先求出二次函數y=ax²+bx+c的解析式，再根據圖象平移“左加右減、上加下減”的規律即可寫出沿x軸向右平移3個單位的函數解析式；
（4）先將點P₁、P₂、P₃的坐標代入y=（x-2）²，得到y₁=（m-2）²，y₂=（m-1）²，y₃=m²，再根據不等式的性質及m＜-3得出y₁＞y₂＞y₃＞0，m+3＜0，m-1＜0，然后判斷y₂+y₃-y₁＞0，即y₂+y₃＞y₁，根據三角形三邊關系定理即可得出當m＜-3時，y₁、y₂、y₃的值一定能作為同一個三角形三邊的長．

解答：解：（1）根據圖表知，當x=1和x=3時，所對應的y值都是2，
∴拋物線的對稱軸是直線x=2，
∴x=-1與x=5時的函數值相等，
∵x=5時，y=9，
∴x=-1時，y=9；

（2）∵當1＜x₁＜2時，函數值y₁小于1；當3＜x₂＜4時，函數值y₂大于1，
∴y₁＜y₂；

（3）∵二次函數y=ax²+bx+c的頂點坐標為（2，0），
∴可設此二次函數的頂點式為y=a（x-2）²，
將點（0，4）代入，得a（0-2）²=4，
解得a=1，
∴y=（x-2）²，
∴將y=（x-2）²的圖象沿x軸向右平移3個單位，所對應的函數關系式為y=（x-2-3）²，
即y=（x-5）²或y=x²-10x+25；

（4）當m＜-3時，y₁、y₂、y₃的值一定能作為同一個三角形三邊的長．理由如下：
∵y=（x-2）²，
∴y₁=（m-2）²，y₂=（m-1）²，y₃=m²，
∵m＜-3，
∴y₁＞y₂＞y₃＞0，m+3＜0，m-1＜-4＜0，
∵y₂+y₃-y₁=（m-1）²+m²-（m-2）²=m²+2m-3=（m+3）（m-1），
∴y₂+y₃-y₁＞0，
∴y₂+y₃＞y₁，
∴當m＜-3時，y₁、y₂、y₃的值一定能作為同一個三角形三邊的長．
故答案為9；y₁＜y₂；y=（x-5）²或y=x²-10x+25．

點評：本題主要考查了二次函數圖象上點的坐標特征，用待定系數法求二次函數的解析式，二次函數的性質，函數圖象的平移規律，不等式的性質，三角形三邊關系定理等知識，綜合性較強，難度適中．其中（3）還可以將表格中任意三點的坐標代入求出二次函數的解析式，（4）中先判斷出y₁＞y₂＞y₃＞0是利用三角形三邊關系定理的前提條件，一般地，在檢驗三條線段能否組成一個三角形時，其簡便做法就是看兩條較短邊的和是否大于第三邊．