Question

【題目】已知AB為⊙O的直徑，BM為⊙O的切線，點(diǎn)C為射線BM上一點(diǎn)，連接AC交⊙O于點(diǎn)D，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)．連接AE交半圓于F．
（1）如圖1，若AE平分∠BAC，求證：∠DBF=∠CBF；

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線交BM于N，若DN⊥BM，求證：△ABC為等腰直角三角形；
（3）在（2）的條件下，如圖3，延長(zhǎng)BF交AC于G，點(diǎn)H為AB上一點(diǎn)，且BH=2BE，過(guò)點(diǎn)H作AE的垂線交AC于P，連接OG交DN于K，若AP=CG，EF=1，求GK的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：如圖1中，

∵AB是直徑，BM是切線，

∴∠AFB=∠ABC=90°，

∵∠FAB+∠ABF=90°，∠ABF+∠CBF=90°，

∴∠CBF=∠FAB，

∵AE平分∠BAC，

∴∠EAC=∠FAB，

∵∠DBF=∠EAC，

∴∠DBF=∠CBF．

（2）解：證明：如圖2中，連接DM．

∵DM是⊙O的切線，DM⊥BC，

∴∠ODM=∠DMB=∠OBM=90°，

∴四邊形ODMB是矩形，

∵OD=OB，

∴四邊形ODMB是正方形，

∴∠DBO=45°，

∵AB是直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠DAB=45°，∵∠ABC=90°，

∴∠BAC=∠ACB=45°，

∴△ABC是等腰直角三角形．

（3）解：如圖3中，連接PB，作CM⊥BC交HP的延長(zhǎng)線于M，延長(zhǎng)BG交CM于N，作GR⊥AB于R，交DN于T．

∵AP=CG，∠BAP=∠BCG=45°，BA=BC，

∴△BAP≌△BCG，

∴BP=BG，

∴∠BPG=∠BGP，

∵HM⊥AE，BN⊥AE，

∴HM∥BN，∵M(jìn)N∥BH，

∴四邊形MNBH是平行四邊形，

∴MN=BH，

∵∠APH=∠CPM=∠BGP=∠BPG，

PC=PC，∠PCB=∠PCM，

∴△PCM≌△PCB，

∴CM=BC=AB，

∵BC=AB，∠ABE=∠BCN，易證∠BAE=∠CBN，

∴△ABE≌△BCN，

∴BE=CN，設(shè)BE=CN=a，則BH=MN=2a，

∴CM=BC=AB=3a，

∴AH=BE=a，

∵△BFE∽△ABE，

∴ = = ，

∵EF=1，

∴BF=3，BE= = ，

∴AH=CN=BE= ，AB=BC=CM=3 ，

∵AH∥CM，

∴ = = ，

∵AP=CG，

∴AP=DP=DG=CG，

∵GR∥BC，

∴ = = ，

∴AR=GR= ，OR=RB= ，

在Rt△GOR中，GO= = ，

∵DK∥OA，

∴ = = ，

∴GK= ．

【解析】（1）由AB是直徑和MB是⊙O的切線，易證得∠CBF=∠FAB，再根據(jù)角平分線的定義和同弧所對(duì)的圓周角相等，可證得結(jié)論。
（2）根據(jù)題意，易證得四邊形ODMB是正方形，根據(jù)正方形的每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角，得到∠DBO=45°，再由圓周角的性質(zhì)，可證得∠BAC=∠ACB=45°，即可得出△ABC是等腰直角三角形.
（3）先證明△BAP≌△BCG得出BP=BG，再證明四邊形MNBH是平行四邊形，得出MN=BH，然后證明△PCM≌△PCB、△ABE≌△BCN得出對(duì)應(yīng)邊相等，設(shè)BE=CN=a，則BH=MN=2a，易證△PCM≌△PCB，建立方程求出相關(guān)線段的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理及平行得線段成比例，建立方程，求解即可求得GK的值。
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的平行四邊形的判定與性質(zhì)和切線的判定定理，需要了解若一直線過(guò)平行四邊形兩對(duì)角線的交點(diǎn)，則這條直線被一組對(duì)邊截下的線段以對(duì)角線的交點(diǎn)為中點(diǎn)，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積；切線的判定方法：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能得出正確答案．