Question

如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜邊BC上兩點，且∠DAE=45°，將△ADC繞點A順時針旋轉90°后，得到△AFB，連接EF，下列結論中正確的個數有①∠EAF=45°；②△ABE∽△ACD；③AE平分∠CAF；④BE²+DC²=DE²（ ）

A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：①根據旋轉的性質知∠CAD=∠BAF，因為∠BAC=90°，∠DAE=45°，所以∠CAD+∠BAE=45°，可得∠EAF=45°；
②因為∠CAD與∠BAE不一定相等，所以△ABE與△ACD不一定相似；
③根據SAS可證△ADE≌△AFE，得∠AED=∠AEF；DE=EF；
④BF=CD，EF=DE，∠FBE=90°，根據勾股定理判斷．
解答：解：①根據旋轉的性質知∠CAD=∠BAF．
∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
∴∠CAD+∠BAE=45°．
∴∠EAF=45°，故①正確；
②因為∠CAD與∠BAE不一定相等，所以△ABE與△ACD不一定相似，故②錯誤；
③∵AF=AD，∠FAE=∠DAE=45°，AE=AE，
∴△ADE≌△AFE，得∠AED=∠AEF，
即AE平分∠DAF，故③錯誤；
④∵∠FBE=45°+45°=90°，
∴BE²+BF²=EF²（勾股定理），
∵△ADC繞點A順時針旋轉90°后，得到△AFB，∴△AFB≌△ADC，∴BF=CD，
又∵EF=DE，
∴BE²+CD²=DE²（等量代換）．故④正確．
故選B．
點評：此題主要考查圖形的旋轉變換，解題時注意旋轉前后對應的相等關系．