Question

如圖，以線段AB為直徑的⊙O交線段AC于點(diǎn)E，點(diǎn)D是AE的中點(diǎn)，連接OD并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)M，∠BOE=60°，cosC=，BC=．

（1）求的度數(shù)；

（2）求證：BC是⊙的切線；

（3）求弧AM的長(zhǎng)度．

Answer 1

（1）30°．（2）證明見(jiàn)解析；（3）.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)即可得出∠A的度數(shù)．

（2）要證BC是⊙O的切線，只要證明AB⊥BC即可．

（3）根據(jù)切線的性質(zhì)，運(yùn)用三角函數(shù)的知識(shí)求出MD的長(zhǎng)度．

試題解析：（1）【解析】
∵∠BOE=60°，

∴∠A=∠BOE=30°．

（2）證明：在△ABC中，∵cosC=，

∴∠C=60°．

又∵∠A=30°，

∴∠ABC=90°，

∴AB⊥BC．

∴BC是⊙O的切線．

（3）∵點(diǎn)M是弧AE的中點(diǎn)，

∴OM⊥AE．

在Rt△ABC中，∵BC=2，

∴AB=BC•tan60°=2×=6．

∴OA=3，

∴弧AM的長(zhǎng) ==

考點(diǎn)：1.圓周角定理；2切線的判定與性質(zhì)；3.弧長(zhǎng)的計(jì)算；4.特殊角的三角函數(shù)值．