Question

如圖，已知點A，B分別在x軸和y軸上，且，點C的坐標是，AB與OC相交于點G．點P從O出發以每秒1個單位的速度從O運動到C，過P作直線EF∥AB分別交OA，OB于E，F．解答下列問題：
（1）直接寫出點G的坐標和直線AB的解析式．
（2）若點P運動的時間為t，直線EF在四邊形OACB內掃過的面積為s，請求出s與t的函數關系式；并求出當t為何值時，直線EF平分四邊形OACB的面積．
（3）設線段OC的中點為Q，P運動的時間為t，求當t為何值時，△EFQ為直角三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據AB與OC相交于點G，以及C點橫縱坐標相等得出G點坐標為AB中點，即可得出答案，再利用A，B兩點坐標得出解析式即可；
（2）分別根據當0＜t≤3時，當3＜t＜7時，利用相似三角形的性質得出s與t的關系時即可．
（3）利用①當P在線段OQ上，且∠EQF=90°時，以及②當P在線段CQ上，且∠EQF=90°時，利用相似三角形的性質得出即可．
解答：解：（1）G點的坐標是，
∵，得出A，B兩點坐標，
分別為：（3，0），（0，3），
代入y=kx+b，
，
解得：，
即可得出直線AB的解析式為：y=-x+3…（2分）；

（2）∵C的坐標是，
∴OC是∠AOB的角平分線.，
又∵，
∴AB==6，
∴∠BAO=∠ABO=∠BOG=∠AOG=45°，
∴∠AGO=90°，即AB⊥OC，
∴OG=3，
①當0＜t≤3時，OP=t，
∵EF∥AB，
∴EF⊥OC，
∴EF=2OP=2t，
∴S=S_△OEF=•EF•OP=•2t•t=t²…（5分），
②當3＜t＜7時，OP=t，CP=7-t，CG=7-OG=7-3=4，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CBA，
∴，
即，
∴，
∴S=S_{四邊形OACB}-S_△CEF=•AB•CO-EF•CP，
=×6×7-×（7-t）（7-t），
=，
∴s與t的函數關系式是：
…（7分）
當直線EF平分四邊形OABC的面積時有：，
整理得：t²-14t+35=0，
解得：（不符合題意舍去）； 
∴當時，直線EF平分四邊形OABC的面積．…（8分）

（3）①如圖1，當P在線段OQ上，且∠EQF=90°時，
∵EF∥AB，
∴∠OEF=∠OAB=∠OBA=∠OFE=45°，
∴OE=OF，
又∵∠FOG=∠EOG=45°，OQ=OQ，
∴△OEQ≌△OFQ，
∴∠FQO=∠EQO=45°，
∴∠OFQ=∠FOE=∠FQE=90°，
∴四邊形OEQF是正方形，
∴，
即t=時，△EFQ為直角三角形，
②如圖2，當P在線段CQ上，且∠EQF=90°時，
同理可證：△CQF≌△CQE，
∴△QEF是等腰直角三角形，
∴，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CBA，
∴，
即，
解得：t=5，
∴當或t=5時，△EFQ為直角三角形．…（12分）
點評：此題主要考查了一次函數的綜合應用以及相似三角形的性質與判定，利用相似三角形的性質得出對應邊之間關系得出t的值是解題關鍵．