Question

【題目】已知△ABC內接于⊙O，AD平分∠BAC交⊙O于點D，交BC于點K，連接DB、DC．

（1）如圖1，求證：DB＝DC；

（2）如圖2，點E、F在⊙O上，連接EF交DB、DC于點G、H，若DG＝CH，求證：EG＝FH；

（3）如圖3，在（2）的條件下，BC經過圓心O，且AD⊥EF，BM平分∠ABC交AD于點M，DK＝BM，連接GK、HK、CM，若△BDK與△CKM的面積差為1，求四邊形DGKH的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）DGKH的面積：4.

【解析】

（1）根據題意證明即可．

（2）連接OC、OD、OG、OH，作OM⊥GH．先證明△ODG≌△OCH，然后利用垂徑定理可得結論．

（3）延長BM交圓O于P，連接CP、DP，作DQ⊥BM于Q，延長HD至R，使DR＝DG，連接RG．先證DM＝DC＝DB，將△BDK與△CKM的面積差用BM表示從而求出BM的長，也就知道了DK的長，通過證明△DBK≌△HRG可知GH與DK相等，而四邊形DGKH的面積就等于GH與DK乘積的一半．

解：（1）∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD，

∴，

∴DB＝DC．

（2）如圖2，連接OC、OD、OG、OH，作OM⊥GH．

則OD＝OC，

∴∠OCH＝∠ODH，

∵，

∴DO⊥BC，

∴∠ODG＝∠ODH，

∴∠ODG＝∠OCH，

在△ODG和△OCH中：

∴△ODG≌△OCH（SAS），

∴OG＝OH，

∵OM⊥GH，

∴GM＝MH，EM＝FM，

∴EG＝FH．

（3）如圖3，延長BM交圓O于P，連接CP、DP，

作DQ⊥BM于Q，延長HD至R，使DR＝DG，連接RG．

∵BC為直徑，

∴∠BDC＝∠BPC＝90°，

∵DB＝DC，

∴∠DBC＝∠DCB＝∠BPD＝∠CPD＝45°，

∵BM平分∠ABC，

，

∴∠PDM＝∠PDC，

在△DPM和△DMC中：

∴△DPM≌△DMC（ASA），

∴DM＝DC＝DB，PC＝PM，

∴∠MDQ＝∠MDB，BQ＝MQ＝BM

∴∠QDP＝∠QDM+∠MDP＝∠BDM+∠MDC＝∠BDC＝45°，

∴PQ＝DQ，

∵DK⊥GH，

∴∠BDK＝∠RHG，

∵RD＝GD，∠GDR＝90°，

∴∠GRH＝45°＝∠KBD，

又∵GD＝CH，

∴RD＝CH，

∴RH＝CD＝BD，

在△DBK和△HRG中：

∴△DBK≌△HRG（ASA），

∴HG＝DK＝BM．

∵S△BDK﹣S△CKM＝1，

∴S△BDM﹣S△CBM＝1，

∴﹣＝BM（DQ﹣CP）＝BM（PQ﹣PM）＝BM2＝1．

∴BM＝2，

∴GH＝DK＝BM＝2，

∴S四邊形DGKH＝GHDK＝4．