Question

學校要圍一個矩形花圃，花圃的一邊利用足夠長的墻，另三邊用總長為32米的籬笆恰好圍成如圖所示的矩形ABCD，設AB邊的長為x米，矩形ABCD的面積為S平方米．
（1）求S與x之間的函數關系式（不要求寫自變量x的值范圍）
（2）用自己的方法將（1）的關系式化成頂點式．
（3）當AB的長多少米時，矩形的面積最大，最大面積是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）在題目已設自變量的基礎上，表示矩形的長，寬；用面積公式列出二次函數；
（2）將（1）中的二次函數進行配方即可化為頂點式．y=a（x-h）²+k；
（3）因為a=-2＜0拋物線開口向下，函數有最大值，即當x=-時，取得最大值．
解答：解：（1）所求的關系式是s=x（32-2x），
即s=-2x²+32x．

（2）s=-2x²+32x，
=-2（x²-16）
=-2（x²-16x+82-64）
=-2[（x-8）²-64]
=-2（x-8）²+128．

（3）∵a=-2＜0拋物線開口向下，
∴函數有最大值，當x=-時，
即AB的長為8米時，矩形面積最大是128平方米．
點評：本題考查了二次函數的應用中求最值的問題．當a＞0時函數有最小值；當a＜0時函數有最大值．求最大（小）值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法，常用的是后兩種方法，當二次項系數a的絕對值是較小的整數時，用配方法較好，如y=-x²-2x+5，y=3x²-6x+1等用配方法求解比用公式法簡便．