Question

工廠有一批長3dm、寬2dm的矩形鐵片，為了利用這批材料，在每一塊上裁下一個最大的圓鐵片⊙O₁之后（如圖所示），再在剩余鐵片上裁下一個充分大的圓鐵片⊙O₂．
（1）求⊙O₁、⊙O₂的半徑r₁、r₂的長；
（2）能否在剩余的鐵片上再裁出一個與⊙O₂ 同樣大小的圓鐵片？為什么？

Answer 1

分析：（1）連接O₁ O₂，過O₁作直線O₁E∥AB，過O₂作直線O₂E∥BC，由相切兩圓的性質可知O₁E⊥O₂E，在Rt△O₁ O₂E中利用勾股定理可求出r₁、r₂的長；
（2）由（1）的結論比較出r₁、r₂的大小，再根據CD=2dm，CD＜4r₂即可得出結論．

解答：解：（1）如圖，矩形ABCD中，AB=2r₁=2dm，即r₁=1dm．…（1分）
BC=3dm，⊙O₂應與⊙O₁及BC、CD都相切．
連接O₁ O₂，過O₁作直線O₁E∥AB，過O₂作直線O₂E∥BC，則O₁E⊥O₂E．
在Rt△O₁ O₂E中，O₁ O₂=r₁+r₂，O₁E=r₁-r₂，O₂E=BC-（r₁+r₂）．
由 O₁ O₂²=O₁E²+O₂E²，
即（1+r₂）²=（1-r₂）²+（2-r₂）²．
解得，r₂=4±2

3

．
又∵r₂＜2，
∴r₁=1dm，r₂=（4-2

3

）dm．…（3分）

（2）不能．…（4分）
∵r₂=（4-2

3

）＞4-2×1.75=

1

2

（dm），
即r₂＞

1

2

dm，
又∵CD=2dm，
∴CD＜4r₂，故不能再裁出所要求的圓鐵片．…（5分）

點評：本題考查的是相切兩圓的性質、勾股定理及矩形的性質，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．