Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，AC=30，矩形DEFG的頂點G與△ABC的頂點C重合，邊GD、GF分別與AC，BC重合．GD=12，GF=16，矩形DEFG沿射線CB的方向以每秒4個單位長的速度勻速運動，點Q從點B出發沿BA方向以每秒5個單位長的速度勻速運動，過點Q作射線QK⊥AB，交折線BC-CA于點H，矩形DEFG、點Q同時出發，當點Q到達點A時停止運動，矩形DEFG也隨之停止運動．設矩形DEFG、點Q運動的時間是t秒（t＞0）．
（1）求線段DF的長；
（2）求運動過程中，矩形DEFG與Rt△ABC重疊部分的面積s與t的函數關系式（寫出自變量的取值范圍）；
（3）射線QK能否把矩形DEFG分成面積相等的兩部分？若能，求出t值；若不能，說明理由；
（4）連接DH，當DH∥AB時，請直接寫出t值．

Answer 1

分析：（1）連接DF，在Rt△CDF中，根據勾股定理可得DF的長；
（2）分①當0＜t≤2時；②當2＜t≤6時；③當6＜t≤10時三種情況討論得到矩形DEFG與Rt△ABC重疊部分的面積s與t的函數關系式；
（3）當QK經過矩形DEFG的對稱中心O時，就可以把矩形DEFG分成面積相等的兩部分；易得∠GFD=∠B，可得DF∥AB，然后根據平行線分線段成比例定理求出t值；
（4）由于當DH∥AB，可知D、H的縱坐標相等，依此可得關于t的方程，求出t值即可．

解答：解：（1）如圖1：連接DF，在Rt△CDF中，CD=12，CF=16，
根據勾股定理：
DF=

122+162

=20；

（2）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，AC=30，
∴BC=

AB2-AC2

=40，
根據題意得：當t=

50

5

=10時，停止運動；
如圖2：當點E在AB上時，
∵∠C=90°，∠EFG=90°，
∴EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴EF：AC=BF：BC，
∴12：30=BF：40，
∴BF=16，
∴CG=BC-BF-GF=40-16-16=8，
此時，t=8÷4=2；
如圖3：當F與B重合時，
CG=BC-BG=40-16=24，
此時，t=24÷4=6，
∵tan∠ABC=

AC

BC

=

3

4

，tan∠GBD=

GD

BG

=

3

4

，
∴此時，點D在直線AB上；
①當0＜t≤2時，s=S_矩形DEFG=12×16=192，
②如圖4：當2＜t≤6時，設矩形DEFG的邊EF交BC于點M，邊DE交AB于點N
∵BF=24-4t tanB=

30

40

=

3

4

∴MF=

3

4

（24-4t）=18-3t，
∴EM=EF-FM=12-（18-3t）=3t-6，
∴NE=

4

3

EM=4t-8，
∴s=S_矩形DEFG-S_△EMN=192-

1

2

EM•EN=192-6（t-2）²，
③如圖5：當6＜t≤10時，設DG與AB交于點M，BG=40-4t，
則MG=

3

4

BG=30-3t，
則s=S_△BMG=

1

2

BG•MG=

1

2

×（40-4t）（30-3t）=6（10-t）²；

（3）能，
如圖6：當QK經過矩形DEFG的對稱中心O時，就可以把矩形DEFG分成面積相等的兩部分；
∵在Rt△GDF與Rt△CAB中，tan∠GDF=

DG

GF

=

12

16

=

3

4

，tan∠B=

AC

BC

=

3

4

，
∴∠GFD=∠B，
∴DF∥AB，
∴

OF

QB

=

HF

BH

，
∵DF=20，
∴OF=10，
∵BF=24-4t，HF=

5

4

OF=

25

2

，QB=5t，
∴BH=BF+FH=24-4t+

25

2

，
∴

10

5t

=

25 2

24-4t+ 25 2

，
解得：t=

146

41

；

（4）如圖7：過點D作MN⊥AB于N，交BC于M，
∵∠GMD+∠B=90°，∠GMD+∠GDM=90°，
∴∠GDM=∠B，
∴GM=GD•tan∠GDM=

3

4

×12=9，
∴DM=

DG2+GM2

=15，
∵BG=40-4t，
∴BM=BG+GM=40-4t+9=49-4t，
∴MN=BM•cos∠B=

3

5

（49-4t），
∴DN=MN-DM=

3

5

（49-4t）-15，
∵QH=

3

4

QB=

3

4

×5t=

15

4

t，
∵DH∥AB，
∴QH=DN，
則

15

4

t=

3

5

（49-4t）-15，
解得t=

96

41

．
故t值為

96

41

．

點評：此題考查了相似形綜合題，涉及的知識點有矩形的性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質等知識．此題綜合性很強，難度較大，注意掌握數形結合思想、分類討論思想與方程思想的應用是解此題的關鍵．