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小明是一位刻苦學習、勤于思考、勇于創造的同學．一天，他在解題時，突然產生了這樣的想法，若存在一個數i²＝－1，則x²＝－1可變為x²＝i²，則x＝±i．小明還發現i具有如下性質：i¹＝i，i²＝－1，i³＝i²×i＝(－1)i＝－i，i⁴＝(i²)²＝1，i⁵＝i⁴×i，i⁶＝－1，i⁷＝－i，i⁸＝1．

請你觀察上述等式，根據你發現的規律填空：i⁴ⁿ⁺¹＝________，i⁴ⁿ⁺²＝________，i⁴ⁿ⁺³＝________(n為自然數)．

答案：i,－1,－i．

練習冊系列答案

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科目：初中數學 來源： 題型：

20、小明是一位刻苦學習、勤于思考、勇于創新的同學，一天他在解方程x²=-1時，突發奇想：x²=-1在實數范圍內無解，如果存在一個數i，使i²=-1，那么x²=i²，則x=±i，從而x=±i是方程x²=-1的兩個根．
（1）據此可知：i³=i²•i=-i，i⁴=

，i⁴²=

-1

；
（2）解方程：x²-2x+2=0（根用i表示）．

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科目：初中數學 來源： 題型：

30、小明是一位刻苦學習，勤于思考的同學，一天，他在解方程時突然產生了這樣的想法，x²=-1，這個方程在實數范圍內無解，如果存在一個數i²=-1，那么方程x²=-1可以變成x²=i²，則x=±i，從而x=±i是方程x²=-1的兩個解，小明還發現i具有以下性質：
i¹=i，i²=-1，i³=i²•i=-i；i⁴=（i²）²=（-1）²=1，i⁵=i⁴•i=i，i⁶=（i²）³=（-1）³=-1，i⁷=i⁶•i=-i，i⁸=（i⁴）²=1，…
請你觀察上述等式，根據你發現的規律填空：i⁴ⁿ⁺¹=

，i⁴ⁿ⁺²=

-1

，i⁴ⁿ⁺³=

-i

，i⁴ⁿ⁺⁴=

（n為自然數）．

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科目：初中數學 來源： 題型：

11、小明是一位刻苦學習、勤于思考、勇于創新的同學，一天他在解方程x²=-1時，突發奇想：x²=-1在實數范圍內無解，如果存在一個數i，使i²=-1，那么若x²=-1，則x=±i，從而x=±i是方程x²=-1的兩個根．據此可知：①i可以運算，例如：i³=i²•i=-1×i=-i，則i²⁰¹¹=

-i．

，②方程x²-2x+2=0的兩根為

1±i．

（根用i表示）

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科目：初中數學 來源： 題型：

8、小明是一位刻苦學習、勤于思考、勇于創造的同學．一天，他在解方程時，突然產生了這樣的想法，x²+1=0這個方程雖然在實數范圍內無解，但是，假如存在這樣一個數i，使i²=-1，那么方程x²+1=0可以變為x²=i²，則x=±i是方程x²+1=0兩個根．小明還發現i具有如下性質：
i¹=i；i²=-1；i³=i²×I=（-1）×i=-i；i⁴=（i²）²=（-1）²=1；i⁵=i⁴×i=i；i⁶=（i²）³=（-1）³=-1；i⁷=i⁶×i=-i；i⁸=（i⁴）²=1…，請你觀察上述各式，根據你發現的規律填空：i⁴ⁿ⁺¹=

，i⁴ⁿ⁺²=

-1

，i⁴ⁿ⁺³=

-i

（n為自然數）．

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科目：初中數學 來源： 題型：

小明是一位刻苦學習、勤于思考、勇于創新的同學。一天，他在解方程時，突然產生了這樣的想法：