Question

已知：AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點G，E是直線AB上一動點（不與點A、B、G重合），直線DE交⊙O于點F，直線CF交直線AB于點P，設⊙O的半徑為r。
（1）如圖1，當點E在直徑AB上時，試證明：OE·OP=r²；
（2）當點E在AB（或BA）的延長線上時，以如圖2點E的位置為例，請你畫出符合題意的圖形，標注上字母，（1）中的結論是否成立？請說明理由。

Answer 1

解：（1）連接FO并延長交⊙O于Q，連接DQ， ∵FQ是⊙O直徑， ∴∠FDQ=90°， ∴∠QFD+∠Q=90°， ∵CD⊥AB， ∴∠P+∠C=90°， ∵∠Q=∠C， ∴∠QFD=∠P， ∵∠FOE=∠POF， ∴△FOE∽△POF， ∴， ∴OE·OP=OF2=r2；
（2）當點E在AB（或BA）的延長線上時，（1）中的結論成立， 理由如下： 依題意畫出圖形（如圖），連接FO并延長交⊙O于M，連接CM， ∵FM是⊙O直徑， ∴∠FCM=90°， ∴∠M+∠CFM=90°， ∵CD⊥AB， ∴∠E+∠D=90°， ∵∠M=∠D， ∴∠CFM=∠E， ∵∠POF=∠FOE， ∴△POF∽△FOE， ∴， ∴OE·OP=OF2=r2。