Question

如圖，在等邊△ABC中，AB=2，點P是AB邊上任意一點（點P可以與點A重合），過點P作PE⊥BC，垂足為E，過點E作EF⊥AC，垂足為F，過點F作FQ⊥AB，垂足為Q，求當BP的長等于多少時，點P與點Q重合？

Answer 1

分析：設出PB的長，根據含有30度的直角三角形中，30度的角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可表示出AQ的長，根據當點P與點Q重合時，BP+AQ=2，即可得到一個方程，從而求解．

解答：解：設BP=x，在直角三角形PBE中，∠BPE=30°
∴BE=

1

2

x，
則EC=2-

1

2

x．
在直角△EFC中，∠FEC=30°，
∴FC=

1

2

EC=1-

1

4

x．
∴AF=2-FC=2-（1-

1

4

x）=1+

1

4

x．
同理：AQ=

1

2

AF=

1

2

+

1

8

x
當點P與點Q重合時，
BP+AQ=2
即x+（

1

2

+

1

8

x）=2
解得：x=

4

3

故當BP=

4

3

時，點P與點Q重合．

點評：本題主要考查了含有30度的直角三角形中，30度的角所對的直角邊等于斜邊的一半，設出BP，進而表示出AQ的長是解題的關鍵．