Question

已知：如下圖，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，與CD相交于點F，H是BC邊的中點，連接DH與BE相交于點G。
（1）求證：BF=AC；
（2）求證：CE=BF；
（3）CE與BG的大小關系如何？試證明你的結論。

Answer 1

解：（1）∵CD⊥AB，∠ABC=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD=CD，
在Rt△DFB和Rt△DAC中，
∵∠DBF=90°﹣∠BFD，∠DCA=90°﹣∠EFC，
且∠BFD=∠EFC，
∴∠DBF=∠DCA，
又∵∠BDF=∠CDA=90°，BD=CD，
∴Rt△DFB≌Rt△DAC，
∴BF=AC；
（2）在Rt△BEA和Rt△BEC中，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
又∵BE=BE，∠BEA=∠BEC=90°，
∴Rt△BEA≌Rt△BEC，
∴CE=AE=AC，
又由（1），知BF=AC，
∴CE=AC=BF；
（3）2CE²=BG²
證明：∠ABC=45°，CD垂直AB于D，
則CD=BD，H為BC中點，
則DH⊥BC（等腰三角形“三線合一”）
連接CG，
則BG=CG，∠GCB=∠GBC=22.5°，∠EGC=45°，
又∵BE垂直AC，
故∠EGC=∠ECG=45°，CE=GE，
∴CE²+GE²=CG²=BG²；
即2CE²=BG²，BG=CE。