Question

如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=．對角線AC，BD相交于點O，將直線AC繞點O順時針旋轉，分別交BC，AD于點E，F．
（1）證明：當旋轉角為90°時，四邊形ABEF是平行四邊形；
（2）試說明在旋轉過程中，線段AF與EC總保持相等；
（3）在旋轉過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎？如果不能，請說明理由；如果能，說明理由并求出此時AC繞點O順時針旋轉的度數．

Answer 1

【答案】分析：（1）當旋轉角為90°時，∠AOF=90°，由AB⊥AC，可得AB∥EF，即可證明四邊形ABEF為平行四邊形；
（2）證明△AOF≌△COE即可；
（3）EF⊥BD時，四邊形BEDF為菱形，可根據勾股定理求得AC=2，∴OA=1=AB，又AB⊥AC，∴∠AOB=45°．
解答：（1）證明：當∠AOF=90°時，AB∥EF，
又∵AF∥BE，
∴四邊形ABEF為平行四邊形．（3分）

（2）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
在△AOF和△COE中
∵．
∴△AOF≌△COE（ASA）．
∴AF=EC． （4分）

（3）解：四邊形BEDF可以是菱形．（5分）
理由：如圖，連接BF，DE
由（2）知△AOF≌△COE，得OE=OF，
∴EF與BD互相平分．
∴當EF⊥BD時，四邊形BEDF為菱形．（6分）
在Rt△ABC中，AC===2，
∴OA=1=AB，
又∵AB⊥AC，
∴∠AOB=45°，（7分）
∴∠AOF=45°，
∴AC繞點O順時針旋轉45°時，四邊形BEDF為菱形．（9分）
點評：此題結合旋轉的性質，主要考查平行四邊形和菱形的判定，有一定難度．