Question

【題目】如圖，已知點C（0，3），拋物線的頂點為A（2，0），與y軸交于點B（0，1），F在拋物線的對稱軸上，且縱坐標為1．點P是拋物線上的一個動點，過點P作PM⊥x軸于點M，交直線CF于點H，設點P的橫坐標為m．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點P在直線CF下方的拋物線上，用含m的代數式表示線段PH的長，并求出線段PH的最大值及此時點P的坐標；

（3）當PF﹣PM＝1時，若將“使△PCF面積為2”的點P記作“巧點”，則存在多個“巧點”，且使△PCF的周長最小的點P也是一個“巧點”，請直接寫出所有“巧點”的個數，并求出△PCF的周長最小時“巧點”的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝（x﹣2）2，即y＝x2﹣x+1；（2）m＝0時，PH的值最大最大值為2，P（0，2）；（3）△PCF的巧點有3個，△PCF的周長最小時，“巧點”的坐標為（0，1）．

【解析】

（1）設拋物線的解析式為y＝a（x﹣2）2，將點B的坐標代入求得a的值即可；

（2）求出直線CF的解析式，求出點P、H的坐標，構建二次函數即可解決問題；

（3）據三角形的面積公式求得點P到CF的距離，過點C作CG⊥CF，取CG＝．則點G的坐標為（﹣1，2）或（1，4），過點G作GH∥FC，設GH的解析式為y＝﹣x+b，將點G的坐標代入求得直線GH的解析式，將直線GH的解析式與拋物線的解析式，聯立可得到點P的坐標，當PC+PF最小時，△PCF的周長最小，由PF﹣PM＝1可得到PC+PF＝PC+PM+1，故此當C、P、M在一條直線上時，△PCF的周長最小，然后可求得此時點P的坐標；

解：（1）設拋物線的解析式為y＝a（x﹣2）2，

將點B的坐標代入得：4a＝1，解得a＝，

∴拋物線的解析式為y＝（x﹣2）2，即y＝x2﹣x+1．

（2）設CF的解析式為y＝kx+3，將點F的坐標F（2，1）代入得：2k+3＝1，解得k＝﹣1，

∴直線CF的解析式為y＝﹣x+3，

由題意P（m，m2﹣m+1），H（m，﹣m+3），

∴PH＝﹣m2+2，

∴m＝0時，PH的值最大最大值為2，此時P（0，2）．

（3）由兩點間的距離公式可知：CF＝2．

設△PCF中，邊CF的上的高線長為x．則×2x＝2，解得x＝．

過點C作CG⊥CF，取CG＝．則點G的坐標為（﹣1，2）．

過點G作GH∥FC，設GH的解析式為y＝﹣x+b，將點G的坐標代入得：1+b＝2，解得b＝1，

∴直線GH的解析式為y＝﹣x+1，

與 y＝（x﹣2）2聯立 解得：，

所以△PCF的一個巧點的坐標為（0，1）．

顯然，直線GH在CF的另一側時，直線GH與拋物線有兩個交點．

∵FC為定點，

∴CF的長度不變，

∴當PC+PF最小時，△PCF的周長最小．

∵PF﹣PM＝1，

∴PC+PF＝PC+PM+1，

∴當C、P、M在一條直線上時，△PCF的周長最小．

∴此時P（0，1）．

綜上所述，△PCF的巧點有3個，△PCF的周長最小時，“巧點”的坐標為（0，1）．