Question

如圖所示，△ABC中，∠C=90°，tanB=0.6，AB=10．求△ABC的面積．
（1）求△ABC的面積．
（2）求∠BCD的余弦值．

Answer 1

分析：（1）在直角三角形ABC中，由銳角三角函數定義得到tanB等于對邊AC比鄰邊BC，根據tanB的值，得到AC與BC的比值，根據比值設出AC與BC，再由AB的長，利用勾股定理列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值，確定出AC與BC的值，利用兩直角邊乘積的一半即可求出三角形ABC的面積；
（2）由三角形ABC的面積等于斜邊AB與AB邊上的高CD乘積的一半表示出面積S，再由第一問求出的面積及AB的長，求出高CD的長，在直角三角形BCD中，由銳角三角函數定義得到余弦值等于鄰邊比斜邊，即CD比BC可得出∠BCD的余弦值．

解答：解：（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，
∴tanB=

AC

BC

=0.6=

3

5

，
設AC=3k，則BC=5k，又AB=10，
根據勾股定理得：（3k）²+（5k）²=100，
整理得：k²=

50

17

，又k＞0，
∴k=

5 34

17

，
∴AC=

15 34

17

，BC=

25 34

17

，
則△ABC的面積S=

1

2

AC•BC=

375

17

；
（2）∵AB=10，S=

375

17

，
∴S=

1

2

AB•CD=5CD=

375

17

，
∴CD=

75

17

，又BC=

25 34

17

，
則在Rt△BCD中，cos∠BCD=

CD

BC

=

3 34

34

．

點評：此題屬于解直角三角形的題型，涉及的知識有：銳角三角函數定義，勾股定理，以及三角形的面積求法，靈活運用銳角三角函數定義是解本題的關鍵．