Question

在直角坐標系xoy中，已知點P是反比例函數圖象上一個動點，以P為圓心的圓始終與y軸相切，設切點為A．

（1）如圖1，⊙P運動到與x軸相切，設切點為K，試判斷四邊形OKPA的形狀，并說明理由．

（2）如圖2，⊙P運動到與x軸相交，設交點為B，C．當四邊形ABCP是菱形時：

①求出點A，B，C的坐標．

②在過A，B，C三點的拋物線上是否存在點M，使△MBP的面積是菱形ABCP面積的．若存在，試求出所有滿足條件的M點的坐標，若不存在，試說明理由．

 

Answer 1

解：（1）∵⊙P分別與兩坐標軸相切，

        ∴ PA⊥OA，PK⊥OK．

        ∴∠PAO=∠OKP=90°．

       又∵∠AOK=90°，

        ∴  ∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°．

        ∴四邊形OKPA是矩形．

        又∵OA=OK，

        ∴四邊形OKPA是正方形．

（2）①連接PB，設點P的橫坐標為x，則其縱坐標為．

過點P作PG⊥BC于G．

∵四邊形ABCP為菱形，

∴BC=PA=PB=PC．

∴△PBC為等邊三角形．

在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，

PG=．

sin∠PBG=，即．

解之得：x=±2（負值舍去）．

∴ PG=，PA=BC=2．

易知四邊形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，

∴OB=OG－BG=1，OC=OG+GC=3．

∴ A（0，），B（1，0）  C（3，0）．

設二次函數解析式為：y=ax²+bx+c．

據題意得：

解之得：a=， b=， c=．

∴二次函數關系式為：．

②解法一：設直線BP的解析式為：y=ux+v，據題意得：

        

解之得：u=， v=．

∴直線BP的解析式為：．

過點A作直線AM∥PB，則可得直線AM的解析式為：．

解方程組：

得： ； ．

過點C作直線CM∥PB，則可設直線CM的解析式為：．

  ∴0=．   

  ∴．

∴直線CM的解析式為：．

解方程組：

得： ； ．

綜上可知，滿足條件的M的坐標有四個，

分別為：（0，），（3，0），（4，），（7，）．

解法二：∵，

∴A（0，），C（3，0）顯然滿足條件．

延長AP交拋物線于點M，由拋物線與圓的軸對稱性可知，PM=PA．

又∵AM∥BC，

∴．

∴點M的縱坐標為．

又點M的橫坐標為AM=PA+PM=2+2=4．

∴點M（4，）符合要求．

點（7，）的求法同解法一．

綜上可知，滿足條件的M的坐標有四個，

分別為：（0，），（3，0），（4，），（7，）．

解法三：延長AP交拋物線于點M，由拋物線與圓的軸對稱性可知，PM=PA．

又∵AM∥BC，

∴．

∴點M的縱坐標為．

即．

解得：（舍），．

∴點M的坐標為（4，）．

點（7，）的求法同解法一．

綜上可知，滿足條件的M的坐標有四個，

分別為：（0，），（3，0），（4，），（7，）．