Question

如圖，甲、乙、丙、丁四位同學從四塊全等的等腰直角三角形紙板上裁下四塊不同的紙板（陰影部分），他們的具體裁法如下：甲同學：如圖1所示裁下一個正方形，面積記為S₁；乙同學：如圖2所示裁下一個正方形，面積記為S₂；丙同學：如圖3所示裁下一個半圓，使半圓的直徑在等腰Rt△的直角邊上，面積記為S₃；丁同學：如圖所示裁下一個內切圓，面積記為S₄則下列判斷正確的是（　　）
①S₁=S₂；②S₃=S₄；③在S₁，S₂，S₃，S₄中，S₂最小．

• A、①②
• B、②③
• C、①③
• D、①②③

Answer 1

分析：分別計算結果再比較大小．具體如下：若設四塊全等的等腰直角三角形的腰長為1，則斜邊長為

2

，只要把四個圖中陰影部分的面積都用等腰直角三角形的腰長表示，就可比較它們的大小．根據直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，可求圖1中S₁=

1

4

；設圖2中正方形的邊長為x，根據等腰直角三角形的性質求得x的值，所以可知S₂=

2

9

；在圖3中，設半圓的半徑為r，根據切線長定理可求得S₃=（

3

2

-

2

）π；在圖4中，設三角形的內切圓半徑為R，根據切線長定理可求得R=1-

2

2

，所以S₄=（

3

2

-

2

）π；根據以上計算的值進行比較即可判斷．

解答：解：圖1中，設四塊全等的等腰直角三角形的腰長為1，則斜邊長為

2

，圖1中陰影正方形的對角線長為

2

2

，S₁=

1

4

；
圖2中，設正方形的邊長為x，則3x=

2

，x=

2

3

，S₂=

2

9

；
圖3中，設半圓的半徑為r，則1+r=

2

，r=

2

-1，S₃=（

3

2

-

2

）π；
圖4中，設三角形的內切圓半徑為R，則2-2R=

2

，解得R=1-

2

2

，S₄=（

3

2

-

2

）π；
根據以上計算的值進行比較，S₃=S₄，在S₁，S₂，S₃，S₄中，S₂最小，所以正確的是②③．
故選B．

點評：本題主要考查了等腰直角三角形的性質及內切圓的性質，切線長定理等內容，范圍較廣．