Question

如圖，△ABC中，點O是AC邊上的一動點，過O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F．
（1）求證：OE=OF；
（2）當(dāng)點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形并證明你的結(jié)論；
（3）若AC邊上存在點O，使四邊形AECF是正方形，且

AE

BC

=

6

2

，求∠B的大小．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD及等角對等邊即可證得OE=OF；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)可知：對角線且互相平分，即AO=CO，OE=OF，故當(dāng)點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形；
（3）當(dāng)四邊形AECF是正方形時，可得：AO⊥EF，又BC∥EF，則AC⊥BC，在正方形AECF中，AC=2OA=

2

AE，根據(jù)

AE

BC

=

6

2

，可得：tanB=

AC

BC

=

3

，故∠B=60°．

解答：解：（1）證明：∵MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠BCE=∠ACE=∠OEC，∠OCF=∠FCD=∠OFC，
∴OE=OC，OC=OF，
∴OE=OF．

（2）當(dāng)O運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形，
∵AO=CO，OE=OF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵∠ECA+∠ACF=

1

2

∠BCD，
∴∠ECF=90°，
∴四邊形AECF是矩形．

（3）當(dāng)四邊形AECF是正方形時，AO⊥EF，
∵BC∥EF，
∴AC⊥BC，AC=

2

AE，
∵

AE

BC

=

6

2

，
∴BC=

6

3

AE，
∴tanB=

AC

BC

=

2 AE

6 3 AE

=

3

，
∴∠B=60°．

點評：本題主要考查了“等角對等邊”，矩形和正方形的特殊性質(zhì)和矩形的判定等在解題中的靈活運用，要求熟練掌握其性質(zhì)．