Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2=ABAD，∠ADC=90°，E為AB的中點．

（1）求證：△ADC∽△ACB；

（2）CE與AD有怎樣的位置關系？試說明理由；

（3）若AD=4，AB=6，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）CE∥AD，理由見解析；（3）．

【解析】試題分析：（1）根據角平分線的定義得到∠DAC=∠CAB，根據相似三角形的判定定理證明；

（2）根據相似三角形的性質得到∠ACB=∠ADC=90°，根據直角三角形的性質得到CE=AE，根據等腰三角形的性質、平行線的判定定理證明；

（3）根據相似三角形的性質列出比例式，計算即可．

試題解析：（1）∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠CAB，

又∵AC2=ABAD，

∴AD：AC=AC：AB，

∴△ADC∽△ACB；

（2）CE∥AD，

理由：∵△ADC∽△ACB，

∴∠ACB=∠ADC=90°，

又∵E為AB的中點，

∴∠EAC=∠ECA，

∵∠DAC=∠CAE，

∴∠DAC=∠ECA，

∴CE∥AD；

（3）∵AD=4，AB=6，CE=AB=AE=3，

∵CE∥AD，

∴∠FCE=∠DAC，∠CEF=∠ADF，

∴△CEF∽△ADF，

∴==，

∴=．