Question

如圖，已知拋物線經過A（1，0），B（0，3）兩點，對稱軸是x=﹣1．

（1）求拋物線對應的函數關系式；

（2）動點Q從點O出發，以每秒1個單位長度的速度在線段OA上運動，同時動點M從M從O點出發以每秒3個單位長度的速度在線段OB上運動，過點Q作x軸的垂線交線段AB于點N，交拋物線于點P，設運動的時間為t秒．

①當t為何值時，四邊形OMPQ為矩形；

②△AON能否為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）根據題意，設拋物線的解析式為：，

∵點A（1，0），B（0，3）在拋物線上，

∴，解得：。

∴拋物線的解析式為：。

（2）①∵四邊形OMPQ為矩形，

∴OM=PQ，即，整理得：t²+5t﹣3=0，

解得（＜0，舍去）。

∴當秒時，四邊形OMPQ為矩形。

②Rt△AOB中，OA=1，OB=3，∴tanA=3。

若△AON為等腰三角形，有三種情況：

（I）若ON=AN，如答圖1所示，

過點N作ND⊥OA于點D，

則D為OA中點，OD=OA=，

∴t=。

（II）若ON=OA，如答圖2所示，

過點N作ND⊥OA于點D，

設AD=x，則ND=AD•tanA=3x，OD=OA﹣AD=1﹣x，

在Rt△NOD中，由勾股定理得：OD²+ND²=ON²，

即，解得x₁=，x₂=0（舍去）。

∴x=，OD=1﹣x=。

∴t=。

（III）若OA=AN，如答圖3所示，

過點N作ND⊥OA于點D，

設AD=x，則ND=AD•tanA=3x，

在Rt△AND中，由勾股定理得：ND²+AD²=AN²，

即，解得x₁=，x₂=（舍去）。

∴x=，OD=1﹣x=1﹣。

∴t=1﹣。

綜上所述，當t為秒、秒，1﹣秒時，△AON為等腰三角形。

【解析】（1）用待定系數法求出拋物線的頂點式解析式。

（2）①當四邊形OMPQ為矩形時，滿足條件OM=PQ，據此列一元二次方程求解。

②△AON為等腰三角形時，可能存在三種情形，分類討論，逐一計算。