Question

（2005•茂名）如圖，已知直線L與⊙O相切于點A，直徑AB=6，點P在L上移動，連接OP交⊙O于點C，連接BC并延長BC交直線L于點D．
（1）若AP=4，求線段PC的長；
（2）若△PAO與△BAD相似，求∠APO的度數和四邊形OADC的面積（答案要求保留根號）．

Answer 1

【答案】分析：（1）在Rt△OAP中，根據勾股定理可將OP的長求出，減去半徑OC的長即為PC的長；
（2）如圖，根據△PAO∽△BAD，可知∠2=∠APO，再根據∠1=2∠2，利用三角形的內角可將∠APO的度數求出；四邊形OADC的面積可通過△ABD與△BOC的面積之差求得，也可由△OAP與△CDP的面積之差求得．
解答：解：（1）∵l與⊙○相切于點A，
∴∠A=90°
∴OP²=OA²+AP²
∵OA=OC=AB=3，AP=4
∴OP²=3²+4²
∴OP=5
∴PC=5-3=2；

（2）∵△PAO∽△BAD，且∠1＞∠2，∠A=∠A=90°
∴∠2=∠APO．
又∠1=2∠2，∠A=90°，
∴∠1=2∠APO，
∴∠1+∠APO=90°
即3∠APO=90°
∴∠APO=30°
在Rt△BAD中，∠2=∠APO=30°
∴AD=6tan30°=6×
方法一：過點O作OE⊥BC于點E
∵∠2=30°，BO=3
∴OE=，BE=3×cos30°=
∴BC=2BE=3
∴S_{四邊形OADC}=S_△BAD-S_△BOC=AB×AD-BC×OE
=×6×2
=；

方法二：在Rt△OAP中，AP=6tan60°=3，OP=2OA=6
∴DP=AP-AD=3，PC=OP-OC=6-3=3
過點C作CF⊥AP于F
∵∠CPF=30°
∴CF=PC=
∴S_{四邊形OADC}=S_△OAP-S_△CDP=AP×OA-DP×CF
=（）
=．
點評：此題考查了勾股定理的計算，相似三角形的性質與判定，不規則圖形的面積的計算等知識，綜合性比較強，其中不規則圖形的面積可通過幾個規則圖形面積相加或相減求得．