Question

（2005•茂名）如圖，已知二次函數y=ax²+2x+3的圖象與x軸交于點A、點B（點B在X軸的正半軸上），與y軸交于點C，其頂點為D，直線DC的函數關系式為y=kx+3，又tan∠OBC=1，
（1）求a、k的值；
（2）探究：在該二次函數的圖象上是否存在點P（點P與點B、C補重合），使得△PBC是以BC為一條直角邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請你說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據直線y=kx+3與y軸相交于點C，得C（0，3），由tan∠OBC=1可求得點B（3，0）；所以a=-1，即y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，頂點D（1，4），代入一次函數可知k=1．
（2）在y軸上取一點F（0，-3），則OF=OC=3，由對稱性可知：∴∠CBF=90°，設直線BF與二次函數y=-x²+2x+3的圖象交于點P，由（1）知B（3，0），直線BF的函數關系式為y=x-3，聯立方程組求解可得點P（-2，-5），所以存在點P（1，4）或P（-2，-5），使得△PBC是以BC為一條直角邊的直角三角形．
解答：解：（1）由直線y=kx+3與y軸相交于點C，得C（0，3）
∵tan∠OBC=1
∴∠OBC=45°∴OB=OC=3
∴點B（3，0）（1分）
∵點B（3，0）在二次函數y=ax²+2x+3的圖象上
∴9a+6+3=0（2分）
∴a=-1（3分）
∴y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4
∴頂點D（1，4）（4分）
又∵D（1，4）在直線y=kx+3上
∴4=k+3
∴k=1
即：a=-1，k=1．（5分）

（2）在二次函數y=-x²+2x+3的圖象上存在點P，使得△PBC是以BC為一條直角邊的直角三角形（6分）
由（1）可知，直線y=x+3與x軸的交點為E（-3，0）
∴OE=OC=3
∴∠CEO=45°
∵∠OBC=45°
∴∠ECB=90°（7分）
∴∠DCB=90°
∴△DCB是以BC為一條直角邊的直角三角形，且點D（1，4）在二次函數的圖象上，則點D是所求的P點（8分）
方法一：設∠CBP=90°，點P在二次函數y=-x²+2x+3的圖象上，則△PBC是以BC為一條直角邊的直角三角形，
∵∠CBO=45°
∴∠OBP=45°設直線BP與y軸交于點F，則F（0，-3）
∴直線BP的表達式為y=x-3（9分）
解方程組
得或
由題意得，點P（-2，-5）為所求．
綜合①②，得二次函數y-x²+2x+3的圖象上存在點P（1，4）或
P（-2，-5），使得△PBC是以BC為一條直角邊的直角三角形（10分）
方法二：在y軸上取一點F（0，-3），則OF=OC=3，由對稱性可知，
∠OBF=∠OBC=45°
∴∠CBF=90°設直線BF與二次函數y=-x²+2x+3的圖象交于點P，由（1）知B（3，0），
∴直線BF的函數關系式為y=x-3（以下與方法一同）（9分）
解方程組
得或
由題意得，點P（-2，-5）為所求．
綜合①②，得二次函數y-x²+2x+3的圖象上存在點P（1，4）或
P（-2，-5），使得△PBC是以BC為一條直角邊的直角三角形．
點評：主要考查了二次函數的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養．要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系．