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(2007•益陽)如圖,AB是⊙O的直徑,C是⊙O上一點,過圓心O作OD⊥AC,D為垂足,E是BC上一點,G是DE的中點,OG的延長線交BC于F.
(1)圖中線段OD,BC所在直線有怎樣的位置關系?寫出你的結論,并給出證明過程;
(2)猜想線段BE,EF,FC三者之間有怎樣的數量關系?寫出你的結論,并給出證明過程.

【答案】分析:(1)因為AB是直徑,所以有∠ACB=90°,而OD⊥AC,又可得到∠ADO=90°,聯合起來,可得∠ACB=∠ADO,因而OD∥BC;
(2)由(1)知,OD∥BC,又O是AB中點,故D是AC中點,那么OD是△ABC的中位線,因而BC=2OD,還能得知△OGD≌△FGE(DG=EG),那么就有BC=2EF,而BC=BE+EF+CF,所以EF=BE+CF.
解答:解:(1)結論:OD∥BC,
證明:∵AB是⊙O直徑,C是⊙O上一點,
∴∠ACB=90°.
即BC⊥AC.
∵OD⊥AC,
∴OD∥BC.

(2)結論:EF=BE+FC,
證明:∵OD⊥AC,
∴AD=DC.
∵O為AB的中點,
∴OD是△ABC的中位線.
∴BC=2OD.
∵,∠ODG=∠FEG,DG=EG,∠GOD=∠GFE,
∴△ODG≌△FEG.
∴OD=EF.
∴BE+EF+FC=BC=2OD=2EF.
∴EF=BE+FC.
點評:本題利用了平行線的判定(兩同位角相等,兩直線平行),以及三角形中位線定理、全等三角形的判定和性質、圓中直徑所對的角是直角等知識.
練習冊系列答案
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(3)將△ACD沿CB向左平移,設平移的距離為x(0≤x≤4),△A2C1D3是平移后的新位置(圖C),若△ABC與△A2C1D3重疊部分的面積為y,求y關于x的函數關系式.


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B.OC所在直線是△ABO的對稱軸
C.OC是∠AOB平分線
D.AC>BC

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