Question

某工廠計劃生產A、B兩種產品共50件，需購買甲、乙兩種材料．生產一件A產品需甲種材料30千克、乙種材料10千克；生產一件B產品需甲、乙兩種材料各20千克．經測算，購買甲、乙兩種材料各1千克共需資金40元，購買甲種材料2千克和乙種材料3千克共需資金105元．
（1）甲、乙兩種材料每千克分別是多少元？
（2）現工廠用于購買甲、乙兩種材料的資金不超過38000元，且生產B產品不少于28件，問符合條件的生產方案有哪幾種？
（3）在（2）的條件下，若生產一件A產品需加工費200元，生產一件B產品需加工費300元，應選擇哪種生產方案，使生產這50件產品的成本最低？（成本=材料費+加工費）

Answer 1

【答案】分析：（1）設甲材料每千克x元，乙材料每千克y元，根據購買甲、乙兩種材料各1千克共需資金40元，購買甲種材料2千克和乙種材料3千克共需資金105元，可列出方程組，解方程組即可得到甲材料每千克15元，乙材料每千克25元；
（2）設生產A產品m件，生產B產品（50-m）件，先表示出生產這50件產品的材料費為15×30m+25×10m+15×20（50-m）+25×20（50-m）=-100m+40000，根據購買甲、乙兩種材料的資金不超過38000元得到-100m+40000≤38000，根據生產B產品不少于28件得到50-m≥28，然后解兩個不等式求出其公共部分得到20≤m≤22，而m為整數，則m的值為20，21，22，易得符合條件的生產方案；
（3）設總生產成本為W元，加工費為：200m+300（50-m），根據成本=材料費+加工費得到W=-100m+40000+200m+300（50-m）=-200m+55000，根據一次函數的性質得到W 隨m的增大而減小，然后把m=22代入計算，即可得到最低成本．
解答：解：（1）設甲材料每千克x元，乙材料每千克y元，則，解得，
所以甲材料每千克15元，乙材料每千克25元；
（2）設生產A產品m件，生產B產品（50-m）件，則生產這50件產品的材料費為15×30m+25×10m+15×20（50-m）+25×20（50-m）=-100m+40000，
由題意：-100m+40000≤38000，解得m≥20，
又∵50-m≥28，解得m≤22，
∴20≤m≤22，
∴m的值為20，21，22，
共有三種方案，如下表：

A（件）	20	21	22
B（件）	30	29	28

（3）設總生產成本為W元，加工費為：200m+300（50-m），
則W=-100m+40000+200m+300（50-m）=-200m+55000，
∵W 隨m的增大而減小，而m=20，21，22，
∴當m=22時，總成本最低，此時W=-200×22+55000=50600元．
點評：本題考查了一次函數的應用：通過實際問題列出一次函數關系，然后根據一次函數的性質解決問題．也考查了二元一次方程組以及二元一次不等式組的應用．