Question

如圖，正三角形A₁OB₁，正三角形A₂B₁B₂，正三角形A₃B₂B₃…按如圖所示的方式放置．點A₁，A₂，A₃，…和點B₁，B₂，B₃…分別在直線y=

3

3

x+1和x軸上．那么點A_n的縱坐標是

 

．

Answer 1

分析：設B₁點坐標為（X₁，0），根據題中關系可以得出A₁點的坐標，同理根據B_n的坐標找到對應的A_n的坐標．

解答：解：設B₁點坐標為（X₁，0）
∵△A₁OB₁為正三角形．
∴A₁的橫坐標為

1

2

x₁
∵A₁在y=

3

3

x+1上
A₁點坐標為（

1

2

x₁，

3

2

x₁）
∴代入方程得A₁坐標（

3

2

，

3

2

）；
設B₁B₂長度為x則A₂坐標為（

3

2

+

x

2

，

3

2

x）
∴代入方程得x=

3 3

2

∴A₂坐標（2

3

，3）；
同理得A₃坐標（5

3

，6）；
由A₁縱坐標

3

2

=

3

2

×2^1-1；
A₂縱坐標3=

3

2

×2^2-1；
A₃縱坐標6=

3

2

×2^3-1；
依此類推得A_n縱坐標為Y_n=

3

2

×2^n-1．

點評：本題重點在于結合三角函數和直線方程得出A₁A₂A₃…的縱坐標，然后總結規律得到A_n的縱坐標．