Question

如圖，拋物線的頂點為D，與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，且OB =" 2OC=" 3．

（1）求a，b的值；
（2）將45°角的頂點P在線段OB上滑動(不與點B重合)，該角的一邊過點D，另一邊與BD交于點Q，設P（x，0），y₂=DQ，試求出y₂關于x的函數關系式；
（3）在同一平面直角坐標系中，兩條直線x = m，x = m+分別與拋物線y₁交于點E，G，與y₂的函數圖象交于點F，H．問點E、F、H、G圍成四邊形的面積能否為？若能，求出m的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

（1）由已知，OB=2OC=3
可得，拋物線y₁=ax²-2ax+b經過B(3，0)，C(0，)兩點，
∴，∴
∴拋物線的解析式為y₁=-x²+x+．          ---------4分
（2）作DN⊥AB，垂足為N．（如下圖1）
由y₁= -x²+x+易得D(1，2)， N(1，0)，A(-1，0)，B(3，0)，
∴AB=4，DN=BN=2，DB=2，
ÐDBN=45°．根據勾股定理有BD ²-BN ²="PD" ²-PN ²．
∴(2)²-2²=PD²-(1-x)²-----j
又ÐMPQ=45°=ÐMBP，
∴△MPQ ∽ △MBP，∴PD²=DQ´DB=y₂´2------k．
由j、k得y₂=x²-x+．∵0≤x＜3，
∴y₂與x的函數關系式為y₂=x²-x+=(0≤x≤3)．--------4分
（自變量取值范圍沒寫，不扣分）


（3）假設E、F、H、G圍成四邊形的面積能為 （如圖2）
∵點E、G是拋物線y₁= -x²+x+= 分別與直線x=m，x= m+的交點
∴點E、G坐標為E(m，)，G(m+，)．
同理，點F、H坐標為F(m，)，H(m+，)．
∴EF=-［］=
GH=)-［］=．
∵四邊形EFHG是平行四邊形或梯形，
∴S=［+］×=
化簡得
解得m=或（都在0≤x≤3內）
所以，當m=或時，E、F、H、G圍成四邊形的面積為.   --------4分

解析