Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D、E分別是AB、AC的中點，F、G為BC上的兩點，FG=3，線段DG，EF的交點為O，當線段FG在線段BC上移動時，三角形FGO的面積與四邊ADOE的面積之和恒為定值，則這個定值是（ ）

A．15
B．12
C．9
D．6

Answer 1

【答案】分析：連接DE，過A作AH⊥BC于H．由于DE是AB、AC的中點，利用三角形中位線定理可得DE∥BC，并且可知△ADE的高等于AH，再結合等腰三角形三線合一性質，以及勾股定理可求AH，那么△ADE的面積就可求．而所求S_△FOG+S_{四邊形ADOE}=S_△ADE+S_△DOE+S_△FOG，又因為△DOE和△FOG的底相等，高之和等于AH的一半，故它們的面積和可求，從而可以得到S_△FOG+S_{四邊形ADOE}的面積．
解答：解：如圖：連接DE，過A向BC作垂線，H為垂足，
∵△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，
∴DE，AH分別是△ABC的中位線和高，BH=CH=BC=×6=3，
∵AB=AC=5，BC=6，由勾股定理得AH===4，
∴S_△ADE=BC•=×3×=3，
設△DOE的高為a，△FOG的高為b，則a+b==2，
∴S_△DOE+S_△FOG=DE•a+FG•b=×3（a+b）=×3×2=3，
∴三角形FGO的面積與四邊ADOE的面積之和恒為定值，則這個定值是
S_△ADE+S_△DOE+S_△FOG=3+3=6．
故選D．
點評：本題屬中等難度題目，涉及到三角形中位線定理，解答此類題目時一般只要知道中點要作中位線，已知等腰三角形要作高線，利用勾股定理解答．