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如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是BC邊上的高,E是BC邊上的一個動點(不與B,C重合),EF⊥AB,EG⊥AC,垂足分別為F,G.
(1)求證:
(2)FD與DG是否垂直?若垂直,請給出證明;若不垂直,請說明理由;
(3)當AB=AC時,△FDG為等腰直角三角形嗎?并說明理由.

【答案】分析:(1)由比例線段可知,我們需要證明△ADC∽△EGC,由兩個角對應相等即可證得;
(2)由矩形的判定定理可知,四邊形AFEG為矩形,根據矩形的性質及相似三角形的判定可得到△AFD∽△CGD,從而不難得到結論;
(3)是,利用相似三角形的性質即可求得.
解答:(1)證明:在△ADC和△EGC中,
∵∠ADC=∠EGC,∠C=∠C,
∴△ADC∽△EGC.
.(3分)

(2)解:FD與DG垂直.(4分)
證明如下:
在四邊形AFEG中,
∵∠FAG=∠AFE=∠AGE=90°,
∴四邊形AFEG為矩形.
∴AF=EG.

.(6分)
又∵△ABC為直角三角形,AD⊥BC,
∴∠FAD=∠C=90°-∠DAC,
∴△AFD∽△CGD.
∴∠ADF=∠CDG.(8分)
∵∠CDG+∠ADG=90°,
∴∠ADF+∠ADG=90°.
即∠FDG=90°.
∴FD⊥DG.(10分)

(3)解:當AB=AC時,△FDG為等腰直角三角形,理由如下:
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴AD=DC.
∵△AFD∽△CGD,

∴FD=DG.
∵∠FDG=90°,
∴△FDG為等腰直角三角形.(12分)
點評:此題考查了相似三角形的判定和性質,①如果兩個三角形的三組對應邊的比相等,那么這兩個三角形相似;②如果兩個三角形的兩條對應邊的比相等,且夾角相等,那么這兩個三角形相似;③如果兩個三角形的兩個對應角相等,那么這兩個三角形相似.相似三角形的對應邊的比相等,對應角相等.
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1
2
B、(
2
2
7
C、
1
4
D、
1
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16
cm.

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