Question

閱讀下面材料：
若設關于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩個根為x₁，x₂，那么由根與系數的關系得：x₁+x₂=-，x₁x₂=．∵，∴=a[x²-（x₁+x₂）x+x₁x₂]=a（x-x₁）（x-x₂）．于是，二次三項式就可以分解因式ax²+bx+c=a（x-x₁）（x-x₂）．
（1）請用上面的方法將多項式4x²+8x-1分解因式．
（2）判斷二次三項式2x²-4x+7在實數范圍內是否能利用上面的方法因式分解，并說明理由．
（3）如果關于x的二次三項式mx²-2（m+1）x+（m+1）（1-m）能用上面的方法分解因式，試求出m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）令4x²+8x-1=0，
∵a=4，b=8，c=-1，b²-4ac=64+16=80＞0，
∴x₁=，x₂=，
則4x²+8x-1=4（x-）（x-）；

（2）二次三項式2x²-4x+7在實數范圍內不能利用上面的方法分解因式，理由如下：
令2x²-4x+7=0，
∵b²-4ac=（-4）²-56=-40＜0，
∴此方程無解，
則此二次三項式不能用上面的方法分解因式；

（3）令mx²-2（m+1）x+（m+1）（1-m）=0，
由此二次三項式能用上面的方法分解因式，即有解，
∴b²-4ac=4（m+1）²-4m（m+1）（1-m）≥0，
化簡得：（m+1）[4（m+1）+4m（m-1）]≥0，即4（m+1）（m²+1）≥0，
∵m²+1≥1＞0，∴m+1≥0，解得m≥-1，又m≠0，
則m≥-1且m≠0時，此二次三項式能用上面的方法分解因式．
分析：（1）令多項式等于0，得到一個一元二次方程，利用公式法求出方程的兩解，代入ax²+bx+c=a（x-x₁）（x-x₂）中即可把多項式分解因式；
（2）令二次三項式等于0，找出其中的a，b及c，計算出b²-4ac，發現其值小于0，所以此方程無解，故此二次三項式不能利用上面的方法分解因式；
（3）因為此二次三項式在實數范圍內能利用上面的方法分解因式，所以令此二次三項式等于0，得到的方程無解，即b²-4ac小于0，列出關于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范圍．
點評：此題考查了分解因式，根的判別式及根與系數的關系，是一道閱讀理解型題，這類題應題中所提供的文字材料中獲得相關的信息，既有考查基礎知識的又考查自學能力與探究能力的，信息量大，解題方法靈活，既注重最終結果，又注重理解過程，主要考查學生分析、歸納、抽象、類比的能力．本題要求學生弄清二次三項式在實數范圍內能分解因式的前提是令二次三項式等于0時，得到的方程有解，即根的判別式大于等于0，此時可根據閱讀材料中的方法進行分解因式．學生作第三問求m范圍時應注意二次項系數不為0這個隱含條件．