Question

閱讀下面材料：若設關于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩個根為x₁，x₂，
那么由根與系數的關系得：x₁+x₂=﹣，x₁x₂=．
∴，
∴=a[x²﹣（x₁+x₂）x+x₁x₂]=a（x﹣x₁）（x﹣x₂）．
于是，二次三項式就可以分解因式ax²+bx+c=a（x﹣x₁）（x﹣x₂）．
（1）請用上面的方法將多項式4x²+8x﹣1分解因式．
（2）判斷二次三項式2x²﹣4x+7在實數范圍內是否能利用上面的方法因式分解，并說明理由．
（3）如果關于x的二次三項式mx²﹣2（m+1）x+（m+1）（1﹣m）能用上面的方法分解因式，試求出m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）令4x²+8x﹣1=0，
∵a=4，b=8，c=﹣1，b²﹣4ac=64+16=80＞0，
∴x₁=，x₂=，
則4x²+8x﹣1=4（x﹣）（x﹣）；
（2）二次三項式2x²﹣4x+7在實數范圍內不能利用上面的方法分解因式，
理由如下：令2x²﹣4x+7=0，
∵b²﹣4ac=（﹣4）²﹣56=﹣40＜0，
∴此方程無解，則此二次三項式不能用上面的方法分解因式；
（3）令mx²﹣2（m+1）x+（m+1）（1﹣m）=0，
由此二次三項式能用上面的方法分解因式，即有解，
∵b²﹣4ac=4（m+1）²﹣4m（m+1）（1﹣m）≥0，
化簡得：（m+1）[4（m+1）+4m（m﹣1）]≥0，
即4（m+1）（m²+1）≥0，
∴m²+1≥1＞0，
∴m+1≠0，解得m≠﹣1，
又m≥0，則m≥﹣1且m≠0時，
此二次三項式能用上面的方法分解因式