Question

（2009•揭東縣模擬）如圖，已知兩點A（-1，0）、B（4，0）在x軸上，以AB為直徑的半⊙P交y軸于點C．
（1）求經過A、B、C三點的拋物線的解析式；
（2）設AC的垂直平分線交OC于D，連接AD并延長AD交半圓P于點E，弧AC與弧CE相等嗎？請證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題的關鍵是求出C點坐標，已知了A、B的坐標，即可求得OA、OB的長，連接BC，在直角三角形ABC中，根據射影定理即可求出OC的長，也就得出了C點坐標．然后根據A、B、C三點坐標，可用待定系數法求出拋物線的解析式．
（2）相等．首先將另一半圓補全，設圓P與y軸負半軸的交點為F，根據垂徑定理可得出弧AC=弧AF，由于D點在線段AC的垂直平分線上，那么AD=CD，即∠CAE=∠ACF，由此可得出弧AF=弧CE，將等量值置換后可得弧AC=弧CE．
解答：解：
（1）易知：OA=1，OB=4，連接BC，在直角三角形ABC中，根據射影定理，可得：OC²=OA•OB=4，
∴OC=2，即C（0，2）．
設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-4）
已知拋物線過C（0，2），
則有：a（0+1）（0-4）=2，a=-
∴拋物線的解析式為y=-x²+x+2．

（2）相等；
證明：如圖：設⊙P與y軸負半軸交于點F，根據垂徑定理可得：弧AF=弧AC．
∵D在線段AC的垂直平分線上；
∴AD=CD
∴∠CAD=∠ACD
∴弧AF=弧CE
∴弧AC=弧CE．
點評：本題考查了二次函數解析式的確定、垂徑定理、圓周角定理等知識．