Question

6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與X軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)B處的坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于c（0，-3），點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的動點(diǎn)．
（1）求出二次函數(shù)的解析式；
（2）連接PO、PC，并將△POC沿y軸對折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點(diǎn)P，使得四邊形POP′C為菱形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若存在，請說明理由；
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？求出此時P的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積．

Answer 1

分析 （1）直接把B（3，0）、C（0，-3）代入y=x²+bx+c可得到關(guān)于b、c的方程組，解方程組求即可．
（2）作OC的垂直平分線交直線BC下方的拋物線于點(diǎn)P，則PO=PC，根據(jù)翻折的性質(zhì)得OP′=OP，CP′=CP，易得四邊形POP′C為菱形，又E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-$\frac{3}{2}$），則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-$\frac{3}{2}$，再把y=-$\frac{3}{2}$代入y=x²-2x-3可求出對應(yīng)x的值，然后確定滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）如圖2中，作PF⊥x軸于F點(diǎn)，交BC于E點(diǎn)，BC的解析式為y=x-3，設(shè)E（m，m-3），P′（m，m²-2m-3）．根據(jù)S_△BCP=S_△BEP+S_CEP=$\frac{1}{2}$PE×FB+$\frac{1}{2}$EP•OF
=$\frac{1}{2}$EP•OB，構(gòu)建二次函數(shù)，求出△PBC的面積的最大值，即可解決問題．

解答 解：（1）把B（3，0）、C（0，-3）代入y=x²+bx+c，得
$\left\{\begin{array}{l}{9+3b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴這個二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x²-2x-3；

（2）存在．理由如下：

如圖1中，作OC的垂直平分線交直線BC下方的拋物線于點(diǎn)P，垂足為點(diǎn)E．
則PO=PC，
∵△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，
∴OP′=OP，CP′=CP，
∴OP′=OP=CP′=CP，
∴四邊形POP′C為菱形，
∵C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3），
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-$\frac{3}{2}$），
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-$\frac{3}{2}$，
把y=-$\frac{3}{2}$代入y=x²-2x-3得x²-2x-3=-$\frac{3}{2}$，
解得x=$\frac{2±\sqrt{10}}{2}$，
∵點(diǎn)P在直線BC下方的拋物線上，
∴x=$\frac{2+\sqrt{10}}{2}$，
∴滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ $\frac{2+\sqrt{10}}{2}$，-$\frac{3}{2}$）．

（3）如圖2中，作PF⊥x軸于F點(diǎn)，交BC于E點(diǎn)，BC的解析式為y=x-3，設(shè)E（m，m-3），P（m，m²-2m-3）．
，
PE=m-3-（m²-2m-3）=-m²+3m=-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
S_△BCP=S_△BEP+S_CEP=$\frac{1}{2}$PE×FB+$\frac{1}{2}$EP•OF
=$\frac{1}{2}$EP•OB
=$\frac{1}{2}$×3[-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$]
=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∵-$\frac{3}{2}$＜0，
∴當(dāng)m=$\frac{3}{2}$時，S_最大=$\frac{27}{8}$，
此時P（ $\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）；
∵A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），
∵四邊形ACPB的面積=△ABC的面積+△PBC的面積，△ABC的面積=$\frac{1}{2}$×4×3=6=定值，
∴當(dāng)△PBC的面積最大時，四邊形ACPB的面積最大，最大值為6+$\frac{27}{8}$=$\frac{75}{8}$．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、三角形的面積、菱形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用待定系數(shù)法解決問題，學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù)最值問題，屬于中考壓軸題．