Question

某節能產品的年產量不超過100萬件，該產品的生產費用y（萬件）與年產量（萬件）之間的函數圖象是頂點在原點的拋物線的一部分（如圖①所示）；該產品的銷售單價Z（元/件）與年銷售量（萬件）之間的函數圖象是如圖②所示的一條線段，生產出的產品都能在當年銷售完，達到產銷平衡．
（1）年產量多少萬件時，所獲毛利潤最大？最大毛利潤是多少？（毛利潤=銷售額-生產費用）
（2）由于每年還要支付100萬元各種稅費等其他費用，則年產量應維持在什么范圍內，才能保證凈利潤達到1000萬元以上？（結果取整數，

5

≈2.24） （凈利潤=毛利潤-其他費用）

Answer 1

分析：（1）由圖象分別寫出生產費用和銷售單價的函數關系式，然后根據毛利潤=銷售額-生產費用，列出關系式，
（2）由凈利潤=毛利潤-其他費用列出函數關系式，令凈利潤＞1000，求得x．

解答：解：（1）由圖象知，
生產費用y=

1

10

x²，
銷售單價與年銷售量函數關系式z=-

1

10

x+30，
根據毛利潤=銷售額-生產費用，
即w=-

1

10

x2+30x-

1

10

x²=-

1

5

x²+30x，
x=75時，毛利潤最大為1125萬元．

（2）由凈利潤=毛利潤-其他費用，
故凈利潤w=-

1

5

x²+30x-100，
令w=1000，
解得x=86.2，
由于拋物線對稱軸為x=75，且二次函數開口向下；
則取值范圍為（64＜x＜86）．

點評：本題主要考查二次函數的應用，由毛利潤=銷售額-生產費用列出函數解析式求得最大值，用二次函數解決實際問題，比較簡單．