Question

（2013•邢臺一模）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，AP切⊙O于點A，OP⊥AC于點E．
（1）求證：△ABC∽POA；
（2）若OB=2，OP=

7

2

，求PE的長．

Answer 1

分析：（1）由BC∥OP可得∠AOP=∠B，根據直徑所對的圓周角為直角可知∠C=90°，再根據切線的性質知∠OAP=90°，從而可證△ABC∽△POA；
（2）根據△ABC∽△POA，和已知邊的長可將BC的長求出，利用勾股定理可求出AC的長，進而求出AE的長，利用射影定理即可求出PE的長．

解答：（1）證明：∵BC∥OP
∴∠AOP=∠B
∵AB是直徑
∴∠C=90°
∵PA是⊙O的切線，切點為A
∴∠OAP=90°
∴∠C=∠OAP
∴△ABC∽△POA；

（2）解：∵△ABC∽△POA，
∴

BC

OA

=

AB

PO

，
∵OB=2，OP=

7

2

，
∴OA=2，AB=4，
∴

BC

2

=

4

7 2

，
∴BC=

16

7

，
∴AC=

AB2-BC2

=

4 33

7

，
∴AE=

1

2

AC=

2 33

7

，
∵AE²=PE•OE=PE×

1

2

BC，
∴PE=

132

49

．

點評：本題主要考查相似三角形的性質與判定、切線的性質等知識，綜合性比較強．