Question

如圖，C（0，3），過點C開口向下的拋物線交x軸于點A、B（點A在點B的右邊），已知∠CBA=45°，tanA=3；
（1）求A、B兩點坐標；
（2）求拋物線解析式及拋物線頂點D的坐標；
（3）E（0，m）為y軸上一動點（不與點C重合）
①當直線EB與△BCD外接圓相切時，求m的值；
②指出點E的運動過程中，∠DEC與∠DBC的大小關系及相應m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據C點的坐標可以求出OC的長度，根據CO的長度和∠CBA=45°，tanA=3通過解直角三角形可以得出OB、OA的長度從而求出A、B的坐標．
（2）根據A、B、C的坐標，利用待定系數法就可以求出拋物線的解析式，然后轉化為頂點式就可以求出頂點坐標D．
（3）①通過勾股定理可以證明△BDC為直角三角形，當直線EB與△BCD外切時EB⊥BD，利用三角形相似可以求出OE的長來確定E點的坐標而確定m的值．
②通過情況討論當點E在C點的上方和下方來分別計算比較，∠DEC與∠DBC的大小，確定相應的m的取值范圍．

解答：解：（1）∵C（0，3）
∴OC=3
∵∠CBA=45°
∴OC=OB=3
∵tanA=3
∴

OC

OA

=3，即

3

OA

=3
∴OA=1
∴A（1，O），B（-3，0）

（2）設拋物線的解析式為：y=a（x-1）（x+3）
把C（0，3）代入得-3a=3
∴a=-1
∴y=-（x-1）（x+3）
y=-x²-2x+3
∴-

b

2a

=-1，

4ac-b2

4a

=4
∴D（-1，4）

（3）①作DH⊥y軸于H，則DH=1，CH=OH-OC=1
由勾股定理得：CD=

2

，CD²=2
在△BOC中，由勾股定理得，BC=

2

OC
∴BC=3

2

，BC²=18
在Rt△BDF中，BF=BO-OF=2，DF=4，由勾股定理得；
BD=2

5

∴DB²=20
在△BCD中∴CD²+BC²=DB²
∴△BCD是直角三角形．
∴BD是△BCD的外接圓的直徑
∵BE與△BCD的外接圓相切
∴BE⊥BD
∴∠DBE=90°
∴∠EBO=∠BDF
∴△BDF∽△EBO
∴

OE

BF

=

OB

DF

即

OE

2

=

3

4

∴OE=

3

2

∴E（0，-

3

2

）
即m=-

3

2

②當點E在C點的上方時，當∠DEC=∠DBC時，
∵∠DHE=∠DCB=90°
∴△DEH∽△DBC
∴

EH

DH

=

BC

DC

=3
∴EH=3，OE=EH+HO=7
∴E（0，7）
∴當m=7時，∠DEC=∠DBC
當m＞時，∠DEC＜∠DBC
當m＜7時，∠DEC＞∠DBC
點E在C下方時，同理可得當∠DEC=∠DBC時，EH=3
∴此時OE=4-3=1
∴E（0，1）
∴當m=1時，∠DEC=∠DBC
當1＜m＜3時，∠DEC＞∠DBC
當m＜1時，∠DEC＜∠DBC
綜上所述得：m＞7或m＜1時，∠DEC＜∠DBC
m=7或m=1時，∠DEC=∠DBC
1＜m＜7且m≠3時，∠DEC＞∠DBC

點評：本題是一道二次函數的綜合試題，考查了利用解直角三角形求線段的長度來求點的坐標，待定系數法求函數的解析式，頂點式的運用，勾股定理及其逆定理的運用，相似三角形的判定及性質，圓的切線的性質等多個知識點．