Question

有若干個邊長都為2的小正方形．若小正方形Ⅱ的一個頂點在小正方形I的中心O₁，如圖所示；類似地小正方形Ⅲ的一個頂點在小正方形Ⅱ的中心O₂，并且小正方形I與小正方形Ⅲ不相重疊，如果若干個小正方形都按這種方法拼接，問需要幾個小正方形能使拼接出的圖形的陰影部分的面積等于一個小正方形的面積，并給出你的證明過程．

Answer 1

分析：根據正方形的性質得出S_△NO1M=

1

4

S_正方形1，再利用全等三角形性質得出S_{四邊形NCO1E}=S_△NO1M，同理可得各陰影面積與正方形關系，即可得出答案．

解答：解：需要5個小正方形能使拼接出的圖形的陰影部分面積等于一個小正方形的面積．理由如下：
對于正方形Ⅰ與正方形Ⅱ，
過O₁作正方形的邊AN、MN的垂線O₁F、O₁E，垂足分別為F、E，連接O₁N、O₁M．
∵O₁為正方形Ⅰ的中心，
∴O₁N=O₁M，∠O₁NC=∠O₁MD=45°，∠NO₁M=90°，
S_△NO1M=

1

4

S_正方形1，
∵∠CO₁N+∠NO₁D=∠CO₁D=90°，∠DO₁M+∠NO₁D=∠NO₁M=90°，
∴∠CO₁N=∠DO₁M．
在△NCO₁與△MDO₁中，
∵

∠O1NC=∠O1MD O1N=O1M ∠CO1N=∠DO1M

，
∴△NCO₁≌△MDO₁（ASA），
∴S△NCO1=S△MDO1，
∴S_{四邊形NCO1D}=S_△NO1M，
即正方形Ⅰ與正方形Ⅱ重合部分的陰影部分面積為正方形面積的

1

4

，
∴需要5個小正方形能使拼接出的圖形的陰影部分面積等于一個小正方形的面積．

點評：此題主要考查了正方形的性質以及全等三角形的判定與性質等知識，利用已知得出△NCO₁≌△MDO₁是解題關鍵．