Question

【題目】（1）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°．△ABC的高AD、BE相交于點M．求證：AM＝2CD；

（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠CAB的平分線，過點B作BE⊥AD，交AD的延長線于點 E．若AD＝3，則BE＝　 　．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）1.5．

【解析】

（1）根據全等三角形的判定和性質定理以及等腰三角形的性質定理，即可得到結論；

（2）延長BE、AC交于F點，首先利用三角形內角和定理計算出∠F＝∠ABF，進而得到AF＝AB，再根據等腰三角形的性質可得BE＝BF，然后證明△ADC≌△BFC，可得BF＝AD，進而得到BE＝AD，即可求解．

（1）在△ABC中，

∵∠BAC＝45°，BE⊥AC，

∴AE＝BE，

∵AD⊥BC，

∴∠EAM＝90°-∠C=∠EBC，

在△AEM和△BEC中，

∵，

∴△AEM≌△BEC（ASA），

∴AM＝BC，

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝CD，

∴BC＝2CD，

∴AM＝2CD；

（2）延長BE、AC交于F點，

∵BE⊥EA，

∴∠AEF＝∠AEB＝90°．

∵AD平分∠BAC，

∴∠FAE＝∠BAE，

∴∠F＝∠ABE，

∴AF＝AB，

∵BE⊥EA，

∴BE＝EF＝BF，

∵△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，

∴∠CAB＝45°，

∴∠AFE＝(180°﹣45°)÷2＝67.5°，∠FAE＝45°÷2=22.5°，

∴∠CDA＝67.5°，

∵在△ADC和△BFC中，

∵，

∴△ADC≌△BFC（AAS），

∴BF＝AD，

∴BE＝AD＝1.5，

故答案為：1.5．