Question

如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作射線AE，過點(diǎn)C作CF⊥AE于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BG⊥AE于點(diǎn)G，連接FD并延長(zhǎng)，交BG于點(diǎn)H
（1）求證：DF=DH；
（2）若∠CFD=120°，求證：△DHG為等邊三角形．

Answer 1

分析：（1）首先證明∠1=∠2，再證明△DCF≌△DBH即可得到DF=DH；
（2）首先根據(jù)角的和差關(guān)系可以計(jì)算出∠GFH=30°，再由∠BGM=90°可得∠GHD=60°，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，HG=

1

2

HF，進(jìn)而得到結(jié)論．

解答：證明：（1）∵CF⊥AE，BG⊥AE，
∴∠BGF=∠CFG=90°，
∴∠1+∠GMB=∠2+∠CME，
∵∠GMB=∠CME，
∴∠1=∠2，
∵點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，
∴DB=CD，
在△BHD和△CED中，

∠1=∠2 DB=CD ∠3=∠4

，
∴△BHD≌△CED（ASA），
∴DF=DH；

（2）∵∠CFD=120°，∠CFG=90°，
∴∠GFH=30°，
∵∠BGM=90°，
∴∠GHD=60°，
∵△HGF是直角三角形，HD=DF，
∴DG=

1

2

HF=DH，
∴△DHG為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定定理．