Question

已知方程x²+（a-3）x+3=0在實數范圍內恒有解，并且恰有一個解大于1小于2，a的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：在與一元二次方程有關的求值問題中，必須滿足下列條件：
（1）二次項系數不為零；
（2）在恒有解下必須滿足△=b²-4ac≥0．
解答：解：設f（x）=x²+（a-3）x+3，問題等價于 f（x）有一個零點在（1，2）內
根據二次方程根的分布，這等價于 f（1）•f（2）＜0
即[1+（a-3）+3]•[4+（a-3）2+3]＜0，
也即（a+1）•（2a+1）＜0
解得-1＜a＜-．
當△=0時，即b²-4ac=0，
∴（a-3）2-12=0，
∴a=2+3或-2+3，
∵恰有一個解大于1小于2，
∵當a=2+3時，x=-（舍）
∴當a=2+3不合題意，
當a=3-2時，x=，符合題意，
故答案為：-1＜a＜-或a=3-2．
點評：主要考查了二次函數的性質與一元二次方程之間的關系．這些性質和規律要求學生熟練掌握．