Question

3、如圖，在△ABC中，AD是高，△ABC的外接圓直徑AE交BC邊于點G，有下列四個結論：①AD²=BD•CD；②BE²=EG•AE；③AE•AD=AB•AC；④AG•EG=BG•CG．其中正確結論的個數是（　　）

A、1個

B、2個

C、3個

D、4個

Answer 1

分析：對四個結論逐一進行論述，說明其對錯即可．另外此題中沒有給出比例線段，故只能通過兩角對應相等，兩三角形相似進行證明．

解答：解：①若△ABD∽△CAD，則一定有AD：BD=CD：AD，即AD²=BD•CD，而兩三角形只有一對角對應相等，不會得到另外的對應角相等，故選項不正確；
②若△BEG∽△AEB，則一定有BE：EG=AE：BE，即BE²=EG•AE，而兩三角形只有一對公共角相等，不會得到另外的對應角相等，故選項不正確；
③∵∠ABD=∠AEC，∠ADB=∠AEC=90°，∴△ABD∽△AEC，∴AE：AC=AB：AD，即AE•AD=AC•AB，故選項正確；
∵根據相交弦定理，可直接得出AG•EG=BG•CG，故選項正確．
故選B．

點評：本題利用了相似三角形的判定、直徑所對的圓周角等于90°、同弧所對的圓周角相等等知識．