Question

（2012•懷柔區二模）已知拋物線y=x²+（2m-1）x+m²-1（m為常數）．
（1）若拋物線y=x²+（2m-1）x+m²-1與x軸交于兩個不同的整數點，求m的整數值；
（2）在（1）問條件下，若拋物線頂點在第三象限，試確定拋物線的解析式；
（3）若點M（x₁，y₁）與點N（x₁+k，y₂）在（2）中拋物線上 （點M、N不重合），且y₁=y₂．求代數式x12•

16

k+1

+6x1+5-k的值．

Answer 1

分析：（1）根據題意可得方程x²+（2m-1）x+m²-1=0有兩個不等整數根，從而得出5-4m為平方數，然后根據m的特點，即可確定滿足題意的m為整數值代數式；
（2）根據拋物線的頂點在第三象限，可確定m的值，也可確定解析式；
（3）將點M、點N代入，結合y₁=y₂，可得出x₁的方程，從而求出x₁與k的關系，利用整體代入可得出代數式的值．

解答：解：（1）由題意可知，△=（2m-1）²-4（m²-1）=5-4m＞0，
又∵拋物線與x軸交于兩個不同的整數點，
∴5-4m為平方數，
設k²=5-4m，則滿足要求的m值為1，-1，-5，-11，-19…
∴滿足題意的m為整數值的代數式為：-n²+n+1（n為正整數）．
（2）∵拋物線頂點在第三象限，
∴只有m=1符合題意，
拋物線的解析式為y=x²+x．
（3）∵點M（x₁，y₁）與N （x₁+k，y₂）在拋物線y=x²+x上，
∴y1=x12+x1，y2=(x1+k)2+x1+k，
∵y₁=y₂，
∴x12+x1=(x1+k)2+x1+k，
整理得：k（2x₁+k+1）=0，
∵點M、N不重合，
∴k≠0，
∴2x₁=-k-1，
∴x12•

16

k+1

+6x1+5-k=

(k+1)2

4

•

16

k+1

-3(k+1)+5-k=6．

點評：此題屬于二次函數的綜合題，涉及了一元二次方程的判別式的知識，及整體思想的運用，難度較大，解答第一問的難點在于求出滿足題意的m整數值的代數式．