Question

如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，∠B＝∠C，點M是AB的中點．如果點P在線段BC上以每秒2個長度單位的速度由點B向點C運動，與此同時，點Q在線段CA上由點C向點A運動．

(1)若點Q的運動速度與點P的運動速度相同，經過1秒后，以點B、M、P為頂點的三角形是否與以點C、P、Q為頂點的三角形全等？請說明理由．

(2)根據(1)的結論，求證：∠MPQ＝90°－∠A

(3)若點Q的運動速度與點P的運動速度不相同，△BMP與△CPQ還可能全等嗎？若全等，求此時點Q的運動速度，若不全等，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：全等(1分)　　理由：連接MP，PQ 　　由題意得BP＝CQ＝2(2分) 　　∵　　 　　∴BM＝CP(3分) 　　在和中 　　　　∴△BMP≌△CPQ(SAS)(4分) 　　(2)證明：由(1)△BMP≌△CPQ得 　　∠BMP＝∠CPQ　　∠BPM＝∠CQP(5分) 　　∵∠MPQ＝180°－(∠BPM＋∠CPQ) 　　∴∠MPQ＝180°－(∠CPQ＋∠CQP) 　　＝180°－(180°－∠C)＝∠C(7分) 　　∵∠B＝∠C　　∴ 　　∴(8分) 　　(3)解：全等(9分) 　　設點Q的運動速度與點P的運動速度分別為和 　　∵　　∴ 　　當，時(10分) 　　又由∠B＝∠C得△BMP≌△CQP(SAS)(11分) 　　此時(秒) 　　(長度單位/秒) 　　即Q點的運動速度為每秒個長度單位(12分)