Question

【題目】已知，在ABCD中，連結對角線AC，∠CAD平分線AF交CD于點F，∠ACD平分線CG交AD于點G，AF，CG交于點O，點E為BC上一點，且∠BAE＝∠GCD.

(1)如圖1，若△ACD是等邊三角形，OC＝2，求ABCD的面積；

(2)如圖2，若△ACD是等腰直角三角形，∠CAD＝90°，求證：CE＋2OF＝AC.

Answer 1

【答案】（1） ；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據平行四邊形ABCD的面積＝2S△ACD，求出△ACD的面積即可．

（2）如圖2中，延長OF到M，使得FM＝OF，連接CM．只要證明AC＝AM，OA＝AG＝CE即可解決問題．

解：(1)∵△ACD是等邊三角形，∴AC＝CD＝AD，

∠ACD＝∠D＝∠CAD＝60°，∵∠OAC＝∠OCA＝30°，

∴OA＝OC＝2，∵CG平分∠ACD，∴CG⊥AD,

在Rt∠AOG中，∵∠OAG＝30°，OA＝2，∴OG＝OA＝1，

AG＝，∴AD＝2AG＝2，∴S△ACD＝AD·CG＝3.

∴平行四邊形ABCD的面積＝2·S△ACD＝6

(2)延長OF到M，使得FM＝OF，連結CM.

∵△ACD是等腰直角三角形，AF，CG是角平分線，∴AF⊥CF，

∠OAC＝∠D＝∠ACD＝45°，∠OCA＝∠DCG＝22.5°，

∴∠COF＝∠OAC＋∠OCA＝67.5°，∠AGC＝∠D＋∠GCD＝67.5°，

∴∠AOG＝∠AGO，∴OA＝AG，∵CF⊥OM，OF＝FM，∴CO＝CM，

∴∠M＝∠COM＝67.5°，∴∠ACM＝180°－∠CAM－∠M＝67.5°，

∴∠ACM＝∠M，∴CA＝AM，∵∠BAE＝∠GCD＝22.5°，AB∥CD，

∴∠BAC＝∠ACD＝45°，∴∠EAC＝∠ACG＝22.5°，∴AE∥CG，

∵EC∥AG，∴四邊形AECG是平行四邊形，∴CE＝AG＝OA，

∴AC＝AM＝OA＋OM＝CE＋2OF