Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線交軸于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，直線過拋物線的頂點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且．

（1）求和的值；

（2）如圖2，點(diǎn)在點(diǎn)和點(diǎn)之間的拋物線上，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在直線右側(cè)的軸上，連接，且，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，線段的長為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）如圖3，在（2）的條件下，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接，若，求的長．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）或．

【解析】

（1）令，求出，，設(shè)拋物線對稱軸交軸于，，則，，求出，得到，代入，求出h，得到，代入求出k；

（2）延長交軸于，設(shè)，得，根據(jù)正切定義可得，即，由，求出，從而求出；

（3）基本思路：構(gòu)造直角三角形，利用正切定義列出等式．即：延長和交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，在上取點(diǎn)，使，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．根據(jù)平行線分線段成比例可求出，根據(jù)正切定義得，即，求出，根據(jù)，求出，PN，得到，代入解析式求出t，再得到WE，NT，TK；設(shè)，求出，根據(jù)直角三角形性質(zhì)得到，故，，即．

解：（1）當(dāng)時，，解得，，

∴，∴，

設(shè)拋物線對稱軸交軸于，

∴，設(shè)，則，

∴，∴，∴，

∴，代入，

即，∴，

∴代人，即，

∴；

（2）延長交軸于，

設(shè)，∴，

∵，∴，

∴，∴，

∵，

∴，∴；

（3）延長和交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，在上取點(diǎn)，使，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，即，∴，

∴，∴，

∴，∴，

∴，解得，或（舍），

∴，∴，

∴，∴，

設(shè)，

∴，，，

∴，

根據(jù)直角三角形性質(zhì)得，

∴，

∴，

∴，

∴，

即，

解得或，

∴或．