Question

【題目】已知AP是△ABC的外角平分線，連結PB、PC．

（1）如圖1①若BP平分∠ABC，且∠ACB＝28°，求∠APB的度數．

②若P與A不重合，請判斷AB+AC與PB+PC的大小關系，并證明你的結論．

（2）如圖2，若過點P作PM⊥BA，交BA的延長線于M點，且∠BPC＝∠BAC，求：的值．

Answer 1

【答案】（1）①14°；②PB+PC＞AB+AC，證明見解析；（2）

【解析】

（1）根據三角形的角平分線的定義和三角形外角的性質即可得到結論；

（2）在射線AD上取一點H，是的AH＝AC，連接PH．則△APH≌△APC，根據三角形的三邊關系即可得到結論．

（3）過P作PN⊥AC于N，根據角平分線的性質得到PM＝PN，根據全等三角形的性質得到AM＝AN，BM＝CN，于是得到結論．

解：（1）①∵AP平分∠DAC，PB平分∠ABC，

∴∠DAP＝∠DAC，∠ABP＝∠ABC，

∵∠DAC＝∠ABC+∠ACB，∠DAP＝∠ABP+∠APB，

∴∠APB＝∠DAP﹣∠ABP＝∠DAC﹣∠ABC＝∠ACB＝14°；

②PB+PC＞AB+AC．

理由如下：

如圖1﹣1，在射線AD上取一點H，使AH＝AC，連接PH．

∵AC＝AH，∠PAD＝∠PAC，AP＝AP，

∴△APH≌△APC（SAS），

∴PC＝PH，

在△BPH中，PB+PH＞BH，

∴PB+PC＞AB+AC．

（2）過點P作PN⊥AC于N，

∵AP平分∠MAN，PM⊥BA，

∴PM＝PN，

在Rt△APM與Rt△APN中，

，

∴Rt△APM≌Rt△APN（HL），

∴AM＝AN，

∵∠BAC＝∠BPC，

∴由“8字形”得：∠MBP＝∠PCN，

在△PMB與△PNC中，

，

∴△PMB≌△PNC（AAS）

∴BM＝CN，

∵AM＝AN，

∴AC﹣AB＝2AM，

∴＝＝