Question

如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，△ABD為等腰直角三角形，∠ADB=90゜，AC=AB，AC與BD相交于E點，CF⊥AB于點F，交BD于G點．下列結論：
①CF=

1

2

AB；②BE=BC；③BC=

2

CD；④CE=2BF，
其中正確的個數為（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

①過D作DH⊥AB，垂足為H．
∵△ABD為等腰直角三角形，
∴DH是斜邊AB上的中線，DH=

1

2

AB；
∵CD∥AB，CF⊥AB，
∴四邊形DHFC是矩形，
∴CF=DH=

1

2

AB，故正確．

②∵CF=

1

2

AB，AC=AB，
∴CF=

1

2

AC，
∴∠CAB=30°；
在等腰△ABC中，∠ACB=∠ABC=（180°-30°）÷2=75°，
∵∠DBA=45°，
∴∠DBC=75°-45°=30°，
在△BEC中，∠BEC=180°-30°-75°=75°=∠BCE，
∴BE=BC．故正確；

③過C作CK⊥BD，K是垂足，
∵CD∥AB，∠BDC=∠DBA=45°，
∴△CKD是等腰直角三角形，
∴CK=

2

2

CD，
∵在△BCK中，∠DBC=30°，
∴BC=2CK=

2

CD，故正確．

④直角△CBF中，∠BCF=90°-75°=15°，
∵△BEC是頂角為30°的等腰三角形，
過B作BM⊥CE，垂足為M，則CM=EM=

1

2

CE，∠CBM=

1

2

∠CBE=15°，
∴∠BCF=∠CBME，
在△BCF和△CBM中，

∠BCF=∠CBM ∠CFB=∠CMB=90° BC=CB

∴△BCF≌△CBM（AAS），
∴BF=CM=

1

2

CE，
即CE=2BF．故正確．
故選D．