Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=36，CE平分∠ACB交AB于點E．

(1)試說明點E為線段AB的黃金分割點；

(2)若AB=4，求BC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

試題（1）根據等腰三角形兩底角相等求出∠ACB=72°，再根據角平分線的定義求出∠BCE=36°，從而得到∠BCE=∠A，然后判定△ABC和△CBE相似，根據相似三角形對應邊成比例列出比例式整理，并根據黃金分割點的定義即可得證；

（2）根據等角對等邊的性質可得AE=CE=BC，再根據黃金分割求解即可．

試題解析：（1）證明：∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠ACB=（180°-36°）=72°，

∵CE平分∠ACB，

∴∠BCE=∠ACB=×72°=36°，

∴∠BCE=∠A=36°，

∴AE=BC，

又∵∠B=∠B，

∴△ABC∽△CBE，

∴，

∴BC2=ABBE，

即AE2=ABBE，

∴E為線段AB的黃金分割點；

（2）∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠B=∠ACB=72°，

∴∠BEC=180°-72°-36°=72°，

∴BC=CE，

由（1）已證AE=CE，

∴AE=CE=BC，

∴BC=AB=×4=2-2．