Question

如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點E，若AC平分∠DAB，且AB=AC，AC=AD，有如下四個結論：①AC⊥BD；②BC=DC；③∠DBC=

1

2

∠DAC；④△ABD是正三角形．請寫出正確結論的序號

①②③

（請你認為正確結論的序號都填上）

Answer 1

分析：由AB=AC，AC=AD，可得△ABD是等腰三角形，由AC平分∠DAB，根據等腰三角形的三線合一的性質，即可得AC⊥BD，BE=DE，然后根據線段垂直平分線的性質，即可得BC=DC；又由AB=AC，AC=AD，可得B，C，D都在以A為圓心，AB為半徑的圓上，根據圓周角的性質，即可得③正確．

解答：解：∵AB=AC，AC=AD，
∴AB=AD，
∵AC平分∠DAB，
∴AC⊥BD，BE=DE，
故①正確；
∴AC是BD的垂直平分線，
∴BC=DC，
故②正確；
∵AB=AC，AC=AD，
∴B，C，D都在以A為圓心，AB為半徑的圓上，
∴∠DBC=

1

2

∠DAC，
故③正確；
∵∠BAD不一定等于60°，
∴△ABD不一定是正三角形．
∴正確結論有①②③．
故答案為：①②③．

點評：此題考查了等腰三角形的性質與判定、線段垂直平分線的性質以及圓周角定理等知識．此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用．